Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície com orientação positiva. Aqui, o campo e a superfície é parte de um parabolóide descrito pela parametrização , onde e . Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície e é um elemento de área.

Passo 3

Como a superfície está parametrizada por , precisamos calcular o vetor normal . Para isso, usamos as derivadas parciais da parametrização em relação a e :

Passo 4

Agora, encontramos o vetor normal calculando o produto vetorial :
Calculando o determinante, temos:

Passo 5

A área diferencial é o módulo do vetor normal:
Mas para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal unitário. No entanto, como vamos fazer o produto escalar, podemos usar diretamente sem normalizar.

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do fluxo:
Substituindo e os valores de da parametrização:
Então,

Passo 7

Fazendo o produto escalar :

Passo 8

Agora, integramos essa expressão sobre os limites de de 1 a 2 e de de 0 a :
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a .

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onde é a fronteira da região compreendida por e .
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, onde é o hemisfério superior .
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, onde é a superfície do sólido limitado por e .