Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva. e é a porção do parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície com orientação positiva. Aqui, o campo e a superfície é parte de um parabolóide descrito pela parametrização , onde e . Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície e é um elemento de área.
Passo 3
Como a superfície está parametrizada por , precisamos calcular o vetor normal . Para isso, usamos as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Passo 4
Agora, encontramos o vetor normal calculando o produto vetorial :
Calculando o determinante, temos:
Passo 5
A área diferencial é o módulo do vetor normal:
Mas para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal unitário. No entanto, como vamos fazer o produto escalar, podemos usar diretamente sem normalizar.
Passo 6
Agora, substituímos e na fórmula do fluxo:
Substituindo e os valores de da parametrização:
Então,
Passo 7
Fazendo o produto escalar :
Passo 8
Agora, integramos essa expressão sobre os limites de de 1 a 2 e de de 0 a :
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 9
Agora, integramos em relação a :
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a .