Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices
,
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em
,
e
, onde
e
são positivos. O objetivo é encontrar a área desse triângulo usando uma integral de linha. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva será o contorno do triângulo. Para calcular a área usando integrais de linha, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas (como a área que queremos encontrar).
Passo 3
O Teorema de Green diz que para uma curva fechada
e uma região
delimitada por
:
Para calcular a área, escolhemos
e
. Assim, a expressão dentro da integral dupla fica:
Então, a área
é:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar cada lado do triângulo para calcular a integral. O triângulo tem três lados:
- De
a - De
a - De
a
Vamos parametrizar cada segmento:
Lado 1: De
a
Lado 2: De
a
Lado 3: De
a
Passo 5
Vamos calcular a integral em cada lado:
Integral no Lado 1:
Integrando de
a
, temos
.
Integral no Lado 2:
Integrando de
a
, temos
.
Integral no Lado 3:
Integrando de
a
, novamente
.
Passo 6
Somando as integrais dos três lados:
Portanto, a área do triângulo é
.
Resposta
A área do triângulo é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o círculo
.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é a fronteira da região compreendida por
e
.
Encontre o fluxo do campo vetorial
através de
na direção da orientação positiva.
e
é a porção do parabolóide
.