Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices (0,0), (a, 0), (0, b), onde a > 0 e b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em (0,0), (a, 0) e (0, b), onde a e b são positivos. O objetivo é encontrar a área desse triângulo usando uma integral de linha. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva será o contorno do triângulo. Para calcular a área usando integrais de linha, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas (como a área que queremos encontrar).

Passo 3

O Teorema de Green diz que para uma curva fechada C e uma região D delimitada por C:
Para calcular a área, escolhemos e . Assim, a expressão dentro da integral dupla fica:
Então, a área A é:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar cada lado do triângulo para calcular a integral. O triângulo tem três lados:
  1. De (0,0) a
  2. De a
  3. De a (0,0)
Vamos parametrizar cada segmento:
Lado 1: De (0,0) a
Lado 2: De a
Lado 3: De a (0,0)

Passo 5

Vamos calcular a integral em cada lado:
Integral no Lado 1:
Integrando de 0 a a, temos 0.
Integral no Lado 2:
Integrando de 0 a 1, temos .
Integral no Lado 3:
Integrando de 0 a 1, novamente 0.

Passo 6

Somando as integrais dos três lados:
Portanto, a área do triângulo é .

Resposta

A área do triângulo é .

Exercícios relacionados