Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices , , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com vértices em , e , onde e são positivos. O objetivo é encontrar a área desse triângulo usando uma integral de linha. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas podem ser usadas para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva será o contorno do triângulo. Para calcular a área usando integrais de linha, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas (como a área que queremos encontrar).

Passo 3

O Teorema de Green diz que para uma curva fechada e uma região delimitada por :
Para calcular a área, escolhemos e . Assim, a expressão dentro da integral dupla fica:
Então, a área é:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar cada lado do triângulo para calcular a integral. O triângulo tem três lados:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos parametrizar cada segmento:
Lado 1: De a
Lado 2: De a
Lado 3: De a

Passo 5

Vamos calcular a integral em cada lado:
Integral no Lado 1:
Integrando de a , temos .
Integral no Lado 2:
Integrando de a , temos .
Integral no Lado 3:
Integrando de a , novamente .

Passo 6

Somando as integrais dos três lados:
Portanto, a área do triângulo é .

Resposta

A área do triângulo é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o triângulo de vértices .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o círculo .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é a fronteira da região compreendida por e .
Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do parabolóide .