Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário. onde é a fronteira da região compreendida por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral específica ao longo de uma curva , que é a fronteira da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula geral do Teorema de Green é:
Aqui, e são funções de e .
Passo 3
No nosso caso, identifique e na integral dada:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre :
Passo 6
Vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas e se intersectam nos pontos onde , ou seja, quando e se igualam. Resolvendo , encontramos os pontos de interseção em e .
Passo 7
Para facilitar a integração, vamos expressar a região em coordenadas e . Observando as curvas: