Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é a fronteira da região compreendida por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral específica ao longo de uma curva , que é a fronteira da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula geral do Teorema de Green é:
Aqui, e são funções de e .

Passo 3

No nosso caso, identifique e na integral dada:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre :

Passo 6

Vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas e se intersectam nos pontos onde , ou seja, quando e se igualam. Resolvendo , encontramos os pontos de interseção em e .

Passo 7

Para facilitar a integração, vamos expressar a região em coordenadas e . Observando as curvas:
  • Para , vai de a .
Então, os limites de integração são:

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando nos limites:
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos em relação a de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:

Passo 11

Avaliar de 0 a 1:
Encontrando um denominador comum, que é 105:

Resposta

A integral vale .

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Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices , , onde e .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o triângulo de vértices .
Encontre o fluxo do campo vetorial através de na direção da orientação positiva.
e é a porção do parabolóide .
Verifique a fórmula do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.
, onde é o hemisfério superior .