Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC x^2 y d x+(y+x y^2) d y onde C é a fronteira da região compreendida por y=x^2 e x=y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral específica ao longo de uma curva , que é a fronteira da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região delimitada por . A fórmula geral do Teorema de Green é:
Aqui, e são funções de e .

Passo 3

No nosso caso, identifique P = x^2 y e Q = y + x y^2 e na integral dada:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (y + x y^2) = y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y) = x^2

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre ointC x^2 y , dx + (y + x y^2) , dy = integral duplaD (y^2 - x^2) , dA :

Passo 6

Vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas e se intersectam nos pontos onde , ou seja, quando e se igualam. Resolvendo , encontramos os pontos de interseção em e .

Passo 7

Para facilitar a integração, vamos expressar a região 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= raizx em coordenadas e . Observando as curvas:
  • Para , vai de a .
Então, os limites de integração são:

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (y^2 - x^2) , dA = integral0^1 integralx^2^raizx (y^2 - x^2) , dy , dx

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx^2^raizx (y^2 - x^2) , dy = [ y^33 - x^2 y ]x^2^raizx :
( (raizx)^33 - x^2 cdot raizx ) - ( (x^2)^33 - x^2 cdot x^2 ) = ( x^3/23 - x^5/2 ) - ( x^63 - x^4 )
Calculando nos limites:
x^3/23 - x^5/2 - x^63 + x^4
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^1 ( x^3/23 - x^5/2 - x^63 + x^4 ) dx de 0 a 1:
13 cdot x^5/252 - x^7/272 - 13 cdot x^77 + x^55 gr|0^1
Integrando termo a termo:
215 x^5/2 - 27 x^7/2 - 121 x^7 + 15 x^5 gr|0^1
Simplificando os coeficientes:

Passo 11

Avaliar de 0 a 1:
( 215 - 27 - 121 + 15 ) - 0 = 215 - 27 - 121 + 15
Encontrando um denominador comum, que é 105:
14105 - 30105 - 5105 + 21105 = 14 - 30 - 5 + 21105 = 0

Resposta

A integral vale .

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