Utilize o volume diferencial d v para determinar os volumes das seguintes regiões:
© 1 < r < 3, pi/2 < theta < 2 pi/3, pi/6 < phi < pi/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de uma região usando o volume diferencial . Isso está relacionado à matéria de cálculo em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas e integrar sobre os limites dados para r, theta e phi.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, o volume diferencial é dado por:
Aqui, r é a distância do ponto à origem, theta é o ângulo no plano xy, e phi é o ângulo do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração:
  • Para r: de 1 a 3
  • Para theta: de a
  • Para phi: de a

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para o volume:
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integração em phi:
  1. Integração em theta:
  1. Integração em r:
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O volume da região é .

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