Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de uma região usando o volume diferencial . Isso está relacionado à matéria de cálculo em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas e integrar sobre os limites dados para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, o volume diferencial é dado por:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano xy, e é o ângulo do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração:
  • Para : de 1 a 3
  • Para : de a
  • Para : de a

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para o volume:
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
  1. Integração em :
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O volume da região é .

Exercícios relacionados

Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
© Constante
Encontre o fluxo do rotacional do campo através do hemisfério e .
Se a integral representa o trabalho realizado para deslocar uma partícula de a até , encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
Sobre uma linha que se desloca de até ao longo:
(a) do segmento
(b) da linha reta entre os pontos e .
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
©