Seja
. A matriz
é diagonalizável se:
c]
c]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
e precisamos descobrir para qual valor de
essa matriz é diagonalizável. Diagonalizável significa que conseguimos escrever a matriz
como
, onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível.
Passo 2
Para determinar se
é diagonalizável, vamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz. Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Simplificando o determinante:
Expande-se o produto:
Organizando os termos:
Passo 5
Essa é a equação quadrática característica. Para que a matriz
seja diagonalizável, ela deve ter valores próprios distintos, ou seja, a equação quadrática deve ter duas soluções diferentes. Isso ocorre quando o discriminante
é positivo:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Passo 6
Para o discriminante ser positivo:
Isso acontece quando
ou
. Entretanto, o exercício sugere que
seja uma opção correta. Vamos verificar o que acontece quando
:
Substituindo
na equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Nesse caso, os valores próprios são complexos e diferentes, mas em matrizes reais, isso não garante a diagonalização da matriz. Portanto, a opção
não torna a matriz diagonalizável no campo dos números reais.
Resposta
A matriz
é diagonalizável para valores de
tais que
ou
. A opção
não torna a matriz diagonalizável.