Seja A=[cc1 & 2 -12 & x]. A matriz A é diagonalizável se:
c] x=2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz 1 & 2 -12 & x e precisamos descobrir para qual valor de essa matriz é diagonalizável. Diagonalizável significa que conseguimos escrever a matriz como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível.

Passo 2

Para determinar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, vamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz. Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade e representa os valores próprios.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 2 -12 & x - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(x - lambda) - (2)(-12) = 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Simplificando o determinante:
(1 - lambda)(x - lambda) + 1 = 0
Expande-se o produto:
1 cdot x - 1 cdot lambda - lambda cdot x + lambda^2 + 1 = 0
Organizando os termos:
lambda^2 - (x + 1)lambda + (x + 1) = 0

Passo 5

Essa é a equação quadrática característica. Para que a matriz De 0 seja diagonalizável, ela deve ter valores próprios distintos, ou seja, a equação quadrática deve ter duas soluções diferentes. Isso ocorre quando o discriminante De é positivo:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:

Passo 6

Para o discriminante ser positivo:
(x + 1)(x - 3) > 0
Isso acontece quando lambda^2 - 3lambda + 3 = 0 ou De. Entretanto, o exercício sugere que seja uma opção correta. Vamos verificar o que acontece quando :
Substituindo na equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Nesse caso, os valores próprios são complexos e diferentes, mas em matrizes reais, isso não garante a diagonalização da matriz. Portanto, a opção não torna a matriz diagonalizável no campo dos números reais.

Resposta

A matriz é diagonalizável para valores de tais que ou . A opção não torna a matriz diagonalizável.

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