Identifique o conjunto dos pontos
que satisfazem a cada equação dada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é identificar o conjunto de pontos
que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar um conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre conic sections (as famosas seções cônicas). Vamos precisar completar o quadrado para transformar essa equação na forma padrão de uma cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, quadramos e adicionamos dentro, lembrando de equilibrar a equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completamos o quadrado dentro do parêntese:
Isso fica:
Passo 5
Agora, simplificamos os termos constantes:
Subtraímos 39 de ambos os lados:
Passo 6
Para chegar na forma padrão da cônica, dividimos toda a equação por 100:
Passo 7
Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma hipérbole com o centro em
, eixo transversal ao longo do eixo
, e as assíntotas determinadas pelos denominadores.
Resposta
O conjunto dos pontos
que satisfazem a equação dada forma uma hipérbole com centro no ponto
, que abre horizontalmente.