Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
25 x^2-4 y^2-50 x-32 y-139=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é identificar o conjunto de pontos que satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar um conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre conic sections (as famosas seções cônicas). Vamos precisar completar o quadrado para transformar essa equação na forma padrão de uma cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 25x^2 - 50x - 4y^2 - 32y = 139 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 25(x^2 - 2x) - 4y^2 - 32y = 139 . Fatoramos o coeficiente de 25((x^2 - 2x + 1) - 1) - 4y^2 - 32y = 139 :
25(x - 1)^2 - 25 - 4y^2 - 32y = 139
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de , que é , quadramos e adicionamos dentro, lembrando de equilibrar a equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 25(x - 1)^2 - 25 - 4(y^2 + 8y) = 139 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 25(x - 1)^2 - 25 - 4((y^2 + 8y + 16) - 16) = 139 :
25(x - 1)^2 - 25 - 4(y + 4)^2 + 64 = 139
Completamos o quadrado dentro do parêntese:
Isso fica:

Passo 5

Agora, simplificamos os termos constantes:
25(x - 1)^2 - 4(y + 4)^2 + 39 = 139
Subtraímos 39 de ambos os lados:
25(x - 1)^2 - 4(y + 4)^2 = 100

Passo 6

Para chegar na forma padrão da cônica, dividimos toda a equação por 100:
(x - 1)^24 - (y + 4)^225 = 1

Passo 7

Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma hipérbole com o centro em , eixo transversal ao longo do eixo , e as assíntotas determinadas pelos denominadores.

Resposta

O conjunto dos pontos que satisfazem a equação dada forma uma hipérbole com centro no ponto , que abre horizontalmente.

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