Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, substituímos cada derivada por , onde é a ordem da derivada. Assim, a equação fica:

Passo 3

Vamos resolver essa equação característica. Observamos que é uma equação quadrática em termos de . Vamos deixar isso mais claro:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 5

Como , temos raízes complexas. Resolvendo para :

Passo 6

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e , pois a parte real das raízes é zero e a parte imaginária é . Portanto, a solução fica:

Resposta

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Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
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