Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
E algumas condições iniciais:
O conteúdo envolvido aqui é resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação diferencial e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, supomos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar. Derivando várias vezes:
Substituindo na equação diferencial:
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica :
Então, as raízes são , , , e .
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz fornece uma parte da solução:
Para :
Para :
Para :
Para :
Como queremos soluções reais, combinamos as partes complexas:
Então, a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes .
Primeiro, escrevemos a solução e suas derivadas:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais uma a uma:
:
:
:
:
Passo 7
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Das equações 1 e 3:
Subtraindo uma da outra:
Agora, as equações ficam:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial, considerando as condições iniciais, é: