Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
E algumas condições iniciais:
O conteúdo envolvido aqui é resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação diferencial e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, supomos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar. Derivando várias vezes:
Substituindo na equação diferencial:
Como nunca é zero, temos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica :
Então, as raízes são , , , e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz fornece uma parte da solução:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como queremos soluções reais, combinamos as partes complexas:
Então, a solução geral é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes .
Primeiro, escrevemos a solução e suas derivadas:

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais uma a uma:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema de equações:
Das equações 1 e 3:
Subtraindo uma da outra:
Agora, as equações ficam:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial, considerando as condições iniciais, é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.