Encontre a forma bilinear B: R^2 times R^2 R tal que [B]alpha^alpha=[cc1 & -2 2 & 3], onde alpha subset R^2 é a base:
alpha=(1,1),(-1,1) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma forma bilinear com uma matriz específica em relação a uma base dada. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as formas bilineares são representadas em diferentes bases e como construir a forma bilinear a partir da matriz fornecida e da base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada argumento. A matriz de uma forma bilinear em relação a uma base específica contém os coeficientes que determinam como os vetores interagem na forma.

Passo 3

A base fornecida é 1 & -2 2 & 3 . Vamos denotar os vetores dessa base como e . A matriz dada é:
Isso significa que, na base , os coeficientes da forma bilinear são esses valores.

Passo 4

Para encontrar a forma bilinear na base padrão , precisamos realizar uma mudança de base. A forma bilinear pode ser expressa em termos da base padrão usando as matrizes de mudança de base.

Passo 5

Vamos denotar a matriz de mudança de base de P = 1 & -1 1 & 1 para a base padrão como . Os vetores da base são as colunas de :

Passo 6

A matriz da forma bilinear na base padrão, que vamos chamar de [B] = P [B]alpha^alpha P^T , pode ser encontrada pela relação:
Aqui, é a transposta de .

Passo 7

Vamos calcular P^T = 1 & 1 -1 & 1 :

Passo 8

Agora, multiplicamos [B]alpha^alpha P^T = 1 & -2 2 & 3 1 & 1 -1 & 1 = 1 cdot 1 + (-2) cdot (-1) & 1 cdot 1 + (-2) cdot 1 2 cdot 1 + 3 cdot (-1) & 2 cdot 1 + 3 cdot 1 = 3 & -1 -1 & 5 por :

Passo 9

Agora, multiplicamos [B] = P [B]alpha^alpha P^T = 1 & -1 1 & 1 3 & -1 -1 & 5 = 1 cdot 3 + (-1) cdot (-1) & 1 cdot (-1) + (-1) cdot 5 1 cdot 3 + 1 cdot (-1) & 1 cdot (-1) + 1 cdot 5 = 4 & -6 2 & 4 pelo resultado obtido:

Resposta

A forma bilinear B( x1 x2 , y1 y2 ) = 4x1 y1 - 6x1 y2 + 2x2 y1 + 4x2 y2 na base padrão é dada por:

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