Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma forma bilinear com uma matriz específica em relação a uma base dada. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as formas bilineares são representadas em diferentes bases e como construir a forma bilinear a partir da matriz fornecida e da base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada argumento. A matriz de uma forma bilinear em relação a uma base específica contém os coeficientes que determinam como os vetores interagem na forma.

Passo 3

A base fornecida é . Vamos denotar os vetores dessa base como e . A matriz dada é:
Isso significa que, na base , os coeficientes da forma bilinear são esses valores.

Passo 4

Para encontrar a forma bilinear na base padrão , precisamos realizar uma mudança de base. A forma bilinear pode ser expressa em termos da base padrão usando as matrizes de mudança de base.

Passo 5

Vamos denotar a matriz de mudança de base de para a base padrão como . Os vetores da base são as colunas de :

Passo 6

A matriz da forma bilinear na base padrão, que vamos chamar de , pode ser encontrada pela relação:
Aqui, é a transposta de .

Passo 7

Vamos calcular :

Passo 8

Agora, multiplicamos por :

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo resultado obtido:

Resposta

A forma bilinear na base padrão é dada por:

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(2,0 pts) Seja
© Estenda a base de para obter uma base de .
Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
.
Com as notações acima, seja a altura de relativa ao vértice . Suponha que os ângulos e não sejam retos.
(a) Mostre que ;
(b) Conclua de (a) que ;
© Mostre que ;
(d) Procedendo como anteriormente, mostre que as alturas são concorrentes em um ponto (ortocentro do tal que ;
(e) Use o Teorema de Pitágoras nos triângulos e para mostrar que
(f) Conclua a fórmula de Heron para a área do
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