Encontre a forma bilinear
tal que
, onde
é a base:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma forma bilinear
com uma matriz específica em relação a uma base dada. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as formas bilineares são representadas em diferentes bases e como construir a forma bilinear a partir da matriz fornecida e da base dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada argumento. A matriz de uma forma bilinear em relação a uma base específica contém os coeficientes que determinam como os vetores interagem na forma.
Passo 3
A base fornecida é
. Vamos denotar os vetores dessa base como
e
. A matriz
dada é:
Isso significa que, na base
, os coeficientes da forma bilinear
são esses valores.
Passo 4
Para encontrar a forma bilinear
na base padrão
, precisamos realizar uma mudança de base. A forma bilinear pode ser expressa em termos da base padrão usando as matrizes de mudança de base.
Passo 5
Vamos denotar a matriz de mudança de base de
para a base padrão como
. Os vetores da base
são as colunas de
:
Passo 6
A matriz da forma bilinear na base padrão, que vamos chamar de
, pode ser encontrada pela relação:
Aqui,
é a transposta de
.
Passo 7
Vamos calcular
:
Passo 8
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 9
Agora, multiplicamos
pelo resultado obtido:
Resposta
A forma bilinear
na base padrão é dada por: