Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma forma bilinear com uma matriz específica em relação a uma base dada. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as formas bilineares são representadas em diferentes bases e como construir a forma bilinear a partir da matriz fornecida e da base dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. É uma função que pega dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada argumento. A matriz de uma forma bilinear em relação a uma base específica contém os coeficientes que determinam como os vetores interagem na forma.
Passo 3
A base fornecida é . Vamos denotar os vetores dessa base como e . A matriz dada é:
Isso significa que, na base , os coeficientes da forma bilinear são esses valores.
Passo 4
Para encontrar a forma bilinear na base padrão , precisamos realizar uma mudança de base. A forma bilinear pode ser expressa em termos da base padrão usando as matrizes de mudança de base.
Passo 5
Vamos denotar a matriz de mudança de base de para a base padrão como . Os vetores da base são as colunas de :
Passo 6
A matriz da forma bilinear na base padrão, que vamos chamar de , pode ser encontrada pela relação: