Encontre a forma bilinear tal que , onde alpha subset R^2 é a base: alpha=(0,1,3),(0,-3,1),(1,0,0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre formas bilineares. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e que é linear em cada um dos argumentos. A gente recebeu uma matriz que representa essa forma bilinear em uma certa base chamada α. Nosso desafio é encontrar a forma bilinear B usando essa matriz e a base fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz . Essa matriz nos dá os coeficientes da forma bilinear B quando os vetores são expressos na base α. Ou seja, se tivermos dois vetores e em , precisamos expressá-los em termos da base α para usar essa matriz na hora de calcular B(v, w).
Passo 3
Vamos anotar a base α que foi fornecida:
alpha = 0 1 3, 0 -3 1, 1 0 0
Essa base tem três vetores que vão servir para expressar qualquer vetor de como uma combinação linear deles.
Passo 4
Agora, para qualquer vetor v = a1 0 1 3 + a2 0 -3 1 + a3 1 0 0 , vamos achar as coordenadas dele na base α. Ou seja, vamos encontrar escalares , , tais que:
Fazendo isso para os vetores e , teremos e , que são os vetores de coordenadas na base α.
Passo 5
A forma bilinear B é calculada usando a matriz B(v, w) = [v]alpha^T cdot [B]alpha^alpha cdot [w]alpha e as coordenadas dos vetores na base α. A fórmula é:
Aqui, é a transposta do vetor de coordenadas de , e a multiplicação de matrizes e vetores nos dá um número real, que é o resultado da forma bilinear aplicada a e .
Passo 6
Então, para encontrar B explicitamente, precisamos expressar a forma bilinear em termos dos componentes dos vetores no espaço padrão. Isso envolve fazer uma mudança de base usando a matriz inversa da base α.
Passo 7
Vamos calcular a matriz inversa da base α para poder passar das coordenadas na base α para as coordenadas na base padrão. A matriz da base α é:
P = 0 & 0 & 1 1 & -3 & 0 3 & 1 & 0
Calculamos e usamos isso para transformar para a base padrão.
Passo 8
Depois de encontrar [B] = P^-1 cdot [B]alpha^alpha cdot (P^-1)^T , a matriz da forma bilinear na base padrão é dada por:
Isso nos dará a matriz que representa a forma bilinear B no sistema de coordenadas padrão.
Passo 9
Por fim, escrevemos a forma bilinear B em termos dos vetores B(x, y) = a x1 y1 + b x1 y2 + dots + k x3 y3 e usando a matriz . A expressão final será algo como: