Encontre a forma bilinear B: R^3 times R^3 R tal que [B]alpha^alpha=[ccc1 & 2 & 0 2 & 3 & -1 0 & -1 & 0], onde alpha subset R^2 é a base:
alpha=(0,1,3),(0,-3,1),(1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre formas bilineares. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e que é linear em cada um dos argumentos. A gente recebeu uma matriz que representa essa forma bilinear em uma certa base chamada α. Nosso desafio é encontrar a forma bilinear B usando essa matriz e a base fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz . Essa matriz nos dá os coeficientes da forma bilinear B quando os vetores são expressos na base α. Ou seja, se tivermos dois vetores e em , precisamos expressá-los em termos da base α para usar essa matriz na hora de calcular B(v, w).

Passo 3

Vamos anotar a base α que foi fornecida:
alpha = 0 1 3, 0 -3 1, 1 0 0
Essa base tem três vetores que vão servir para expressar qualquer vetor de como uma combinação linear deles.

Passo 4

Agora, para qualquer vetor v = a1 0 1 3 + a2 0 -3 1 + a3 1 0 0 , vamos achar as coordenadas dele na base α. Ou seja, vamos encontrar escalares , , tais que:
Fazendo isso para os vetores e , teremos e , que são os vetores de coordenadas na base α.

Passo 5

A forma bilinear B é calculada usando a matriz B(v, w) = [v]alpha^T cdot [B]alpha^alpha cdot [w]alpha e as coordenadas dos vetores na base α. A fórmula é:
Aqui, é a transposta do vetor de coordenadas de , e a multiplicação de matrizes e vetores nos dá um número real, que é o resultado da forma bilinear aplicada a e .

Passo 6

Então, para encontrar B explicitamente, precisamos expressar a forma bilinear em termos dos componentes dos vetores no espaço padrão. Isso envolve fazer uma mudança de base usando a matriz inversa da base α.

Passo 7

Vamos calcular a matriz inversa da base α para poder passar das coordenadas na base α para as coordenadas na base padrão. A matriz da base α é:
P = 0 & 0 & 1 1 & -3 & 0 3 & 1 & 0
Calculamos e usamos isso para transformar para a base padrão.

Passo 8

Depois de encontrar [B] = P^-1 cdot [B]alpha^alpha cdot (P^-1)^T , a matriz da forma bilinear na base padrão é dada por:
Isso nos dará a matriz que representa a forma bilinear B no sistema de coordenadas padrão.

Passo 9

Por fim, escrevemos a forma bilinear B em termos dos vetores B(x, y) = a x1 y1 + b x1 y2 + dots + k x3 y3 e usando a matriz . A expressão final será algo como:
onde são os coeficientes da matriz .

Resposta

A forma bilinear desejada é
B(x, y) = x1 y1 + 2 x1 y2 + 0 x1 y3 + 2 x2 y1 + 3 x2 y2 - x2 y3 + 0 x3 y1 - x3 y2 + 0 x3 y3
ou simplificando,
B(x, y) = x1 y1 + 2 x1 y2 + 2 x2 y1 + 3 x2 y2 - x2 y3 - x3 y2

Exercícios relacionados