Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre formas bilineares. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e que é linear em cada um dos argumentos. A gente recebeu uma matriz que representa essa forma bilinear em uma certa base chamada α. Nosso desafio é encontrar a forma bilinear B usando essa matriz e a base fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz . Essa matriz nos dá os coeficientes da forma bilinear B quando os vetores são expressos na base α. Ou seja, se tivermos dois vetores e em , precisamos expressá-los em termos da base α para usar essa matriz na hora de calcular B(v, w).

Passo 3

Vamos anotar a base α que foi fornecida:
Essa base tem três vetores que vão servir para expressar qualquer vetor de como uma combinação linear deles.

Passo 4

Agora, para qualquer vetor , vamos achar as coordenadas dele na base α. Ou seja, vamos encontrar escalares , , tais que:
Fazendo isso para os vetores e , teremos e , que são os vetores de coordenadas na base α.

Passo 5

A forma bilinear B é calculada usando a matriz e as coordenadas dos vetores na base α. A fórmula é:
Aqui, é a transposta do vetor de coordenadas de , e a multiplicação de matrizes e vetores nos dá um número real, que é o resultado da forma bilinear aplicada a e .

Passo 6

Então, para encontrar B explicitamente, precisamos expressar a forma bilinear em termos dos componentes dos vetores no espaço padrão. Isso envolve fazer uma mudança de base usando a matriz inversa da base α.

Passo 7

Vamos calcular a matriz inversa da base α para poder passar das coordenadas na base α para as coordenadas na base padrão. A matriz da base α é:
Calculamos e usamos isso para transformar para a base padrão.

Passo 8

Depois de encontrar , a matriz da forma bilinear na base padrão é dada por:
Isso nos dará a matriz que representa a forma bilinear B no sistema de coordenadas padrão.

Passo 9

Por fim, escrevemos a forma bilinear B em termos dos vetores e usando a matriz . A expressão final será algo como:
onde são os coeficientes da matriz .

Resposta

A forma bilinear desejada é
ou simplificando,

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Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
(2,0 pts) Seja
© Estenda a base de para obter uma base de .
Com as notações acima, seja a altura de relativa ao vértice . Suponha que os ângulos e não sejam retos.
(a) Mostre que ;
(b) Conclua de (a) que ;
© Mostre que ;
(d) Procedendo como anteriormente, mostre que as alturas são concorrentes em um ponto (ortocentro do tal que ;
(e) Use o Teorema de Pitágoras nos triângulos e para mostrar que
(f) Conclua a fórmula de Heron para a área do
á
(2,0 pts) Sejam e a matrtiz mudança de base .
© Se é uma base de um espaço vetorial de dimensão 4 , qual é a matriz de mudança de base ? Justifique sua resposta exibindo :