Encontre a forma bilinear B: R^3 times R^3 R tal que [B]alpha^alpha=[ccc1 & 2 & 0 2 & 3 & -1 0 & -1 & 0], onde alpha subset R^2 é a base:
alpha=(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma forma bilinear com uma matriz específica em relação a uma base . O conteúdo envolve formas bilineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a matriz de uma forma bilinear muda quando mudamos de base e usar essa informação para encontrar a forma bilinear desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e ela é linear em cada argumento. A matriz associada a uma forma bilinear em uma base específica contém os coeficientes que usamos para calcular isso.
No nosso caso, a matriz está dada, e queremos encontrar a forma bilinear em relação à base padrão de . Para isso, precisamos encontrar a matriz da forma bilinear na base padrão, que chamaremos de .

Passo 3

Para mudar a matriz de uma forma bilinear de uma base [B] = P^T [B]alpha^alpha P para a base padrão, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz de mudança de base de para a base padrão, e é a transposta dessa matriz. Vamos construir a matriz com base na base .

Passo 4

A matriz P = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 é formada colocando os vetores da base P^T = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 como colunas:
P
Agora, vamos calcular a transposta de , que é :
Bom, neste caso, é simétrica, então .

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a fórmula:
[B] = P^T [B]alpha^alpha P
Substituindo os valores:
[B] = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 2 & 0 2 & 3 & -1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos fazer as multiplicações passo a passo.

Passo 6

Primeiro, multiplicamos P^T [B]alpha^alpha = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 2 & 0 2 & 3 & -1 0 & -1 & 0 = 3 & 5 & -1 -1 & -1 & 1 0 & -1 & 0 por [B] = 3 & 5 & -1 -1 & -1 & 1 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 :
Agora, vamos multiplicar esse resultado por :

Passo 7

Fazendo a segunda multiplicação:
[B] = (3)(1) + (5)(1) + (-1)(0) & (3)(1) + (5)(-1) + (-1)(0) & (3)(0) + (5)(0) + (-1)(1) (-1)(1) + (-1)(1) + (1)(0) & (-1)(1) + (-1)(-1) + (1)(0) & (-1)(0) + (-1)(0) + (1)(1) (0)(1) + (-1)(1) + (0)(0) & (0)(1) + (-1)(-1) + (0)(0) & (0)(0) + (-1)(0) + (0)(1)
Calculando cada elemento:
[B] = 3 + 5 + 0 & 3 - 5 + 0 & 0 + 0 -1 -1 -1 +0 & -1 +1 +0 & 0 +0 +1 0 -1 +0 & 0 +1 +0 & 0 +0 +0 = 8 & -2 & -1 -2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0

Resposta

A forma bilinear [B] = 8 & -2 & -1 -2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 é dada pela matriz:
B(x, y) = 8x1 y1 - 2x1 y2 - x1 y3 - 2x2 y1 + 0x2 y2 + x2 y3 - x3 y1 + x3 y2 + 0x3 y3
Portanto, para quaisquer vetores B(x, y) = 8x1 y1 - 2x1 y2 - x1 y3 - 2x2 y1 + x2 y3 - x3 y1 + x3 y2 e em , a forma bilinear é:
Ou simplificando:

Exercícios relacionados