Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma forma bilinear com uma matriz específica em relação a uma base . O conteúdo envolve formas bilineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a matriz de uma forma bilinear muda quando mudamos de base e usar essa informação para encontrar a forma bilinear desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e ela é linear em cada argumento. A matriz associada a uma forma bilinear em uma base específica contém os coeficientes que usamos para calcular isso.
No nosso caso, a matriz está dada, e queremos encontrar a forma bilinear em relação à base padrão de . Para isso, precisamos encontrar a matriz da forma bilinear na base padrão, que chamaremos de .
Passo 3
Para mudar a matriz de uma forma bilinear de uma base para a base padrão, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz de mudança de base de para a base padrão, e é a transposta dessa matriz. Vamos construir a matriz com base na base .
Passo 4
A matriz é formada colocando os vetores da base como colunas:
Agora, vamos calcular a transposta de , que é :
Bom, neste caso, é simétrica, então .
Passo 5
Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a fórmula:
Substituindo os valores:
Vamos fazer as multiplicações passo a passo.
Passo 6
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, vamos multiplicar esse resultado por :
Passo 7
Fazendo a segunda multiplicação:
Calculando cada elemento:
Resposta
A forma bilinear é dada pela matriz:
Portanto, para quaisquer vetores e em , a forma bilinear é: