Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
(onde
é contínua e
), ao redor da reta
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo geometria e cálculo diferencial. O enunciado nos pede para encontrar a fórmula da área da superfície gerada pela rotação de uma curva polar definida por
no intervalo
, ao redor da reta
.
Conteúdo da Matéria
Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies de revolução em coordenadas polares. Precisaremos entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula apropriada para calcular a área gerada pela rotação.
Passo 2
Parâmetros da Curva Polar
Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por
, onde
é a distância ao ponto de origem e
é o ângulo em relação ao eixo polar (geralmente o eixo
positivo).
Nossa curva é dada por
, variando de
até
.
Passo 3
Entendendo a Roda ao Redor de
Rotacionar a curva ao redor da reta
significa girar a curva em torno do eixo vertical (como o eixo
no sistema cartesiano). Isso cria uma superfície tridimensional.
Passo 4
Fórmula da Área da Superfície de Revolução em Coordenadas Polares
A fórmula geral para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva polar
ao redor de um eixo vertical (
) é dada por:
Explicação da Fórmula
-
representa a circunferência gerada pela rotação de um ponto a uma distância do eixo de rotação. -
é a expressão para o comprimento de um pequeno segmento da curva em coordenadas polares. - A integral soma todas essas pequenas áreas ao longo do intervalo de
de a .
Passo 5
Aplicando a Fórmula
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Resposta
A fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
, no intervalo
, ao redor da reta
é:
Exercícios relacionados
Calcular as adições e subtrações de frações.
Calcular as adições e subtrações de frações.
Use a fórmula na parte (a) para calcular a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata
ao redor do eixo polar.
Calcular as adições e subtrações de frações.