Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f(theta), a <= theta <= b (onde f' é contínua e 0 <= a < b <= pi ), ao redor da reta theta = pi / 2

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo geometria e cálculo diferencial. O enunciado nos pede para encontrar a fórmula da área da superfície gerada pela rotação de uma curva polar definida por no intervalo , ao redor da reta .
Conteúdo da Matéria
Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies de revolução em coordenadas polares. Precisaremos entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula apropriada para calcular a área gerada pela rotação.

Passo 2

Parâmetros da Curva Polar
Em coordenadas polares, qualquer ponto é definido por (r, θ), onde r é a distância ao ponto de origem e theta é o ângulo em relação ao eixo polar (geralmente o eixo x positivo).
Nossa curva é dada por , variando de até .

Passo 3

Entendendo a Roda ao Redor de
Rotacionar a curva ao redor da reta significa girar a curva em torno do eixo vertical (como o eixo y no sistema cartesiano). Isso cria uma superfície tridimensional.

Passo 4

Fórmula da Área da Superfície de Revolução em Coordenadas Polares
A fórmula geral para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva polar ao redor de um eixo vertical ( ) é dada por:
Explicação da Fórmula
  • representa a circunferência gerada pela rotação de um ponto a uma distância r do eixo de rotação.
  • é a expressão para o comprimento de um pequeno segmento da curva em coordenadas polares.
  • A integral soma todas essas pequenas áreas ao longo do intervalo de theta de a a b.

Passo 5

Aplicando a Fórmula
Substituindo e na fórmula, temos:

Resposta

A fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar , no intervalo , ao redor da reta é:

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Use a fórmula na parte (a) para calcular a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata r^2 = cos(2*theta) ao redor do eixo polar.
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