Use a fórmula na parte (a) para calcular a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata r^2 = cos(2*theta) ao redor do eixo polar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a lemniscata é girada em torno do eixo polar. A matéria envolvida aqui é cálculo de áreas de superfícies de revolução em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona a curva em coordenadas polares com a área gerada pelo giro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Para calcular a área da superfície gerada ao girar uma curva polar em torno do eixo polar, usamos:
Aqui, e são os limites do intervalo de para um ciclo completo da curva.

Passo 3

Vamos calcular agora . A nossa curva é , então primeiro isolamos :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. A lemniscata completa um ciclo quando vai de a , ou seja, varia de a . Como a figura é simétrica, podemos calcular de 0 a e multiplicar por 2.

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando de 0 a :

Resposta

Substituindo na expressão da área:
Portanto, a área da superfície gerada é .

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Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f(theta), a <= theta <= b (onde f' é contínua e 0 <= a < b <= pi ), ao redor da reta theta = pi / 2
Calcular as adições e subtrações de frações.
2/7 + 10/7 =
Calcular as adições e subtrações de frações.
10 - 7/4 - 5/6 =
Calcular as adições e subtrações de frações.
1/4 + 6 + 2/3 + 5/6 =