Use a fórmula na parte (a) para calcular a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata ao redor do eixo polar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a lemniscata é girada em torno do eixo polar. A matéria envolvida aqui é cálculo de áreas de superfícies de revolução em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona a curva em coordenadas polares com a área gerada pelo giro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Para calcular a área da superfície gerada ao girar uma curva polar em torno do eixo polar, usamos:
Aqui, e são os limites do intervalo de para um ciclo completo da curva.
Passo 3
Vamos calcular agora . A nossa curva é , então primeiro isolamos :
Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. A lemniscata completa um ciclo quando vai de a , ou seja, varia de a . Como a figura é simétrica, podemos calcular de 0 a e multiplicar por 2.