Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série
e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série
e, a partir daí, determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, também queremos saber qual é essa soma final. A série que estamos analisando é:
Vamos precisar entender sobre séries telescópicas e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde muitos termos se cancelam quando somamos de uma certa forma. Olhando para a nossa série, vemos que cada termo é uma diferença:
Se somarmos vários desses termos, veremos que grande parte deles vai se anular.
Passo 3
Vamos calcular a soma parcial
, que é a soma dos primeiros
termos da série:
Desmembrando essa soma:
Passo 4
Observamos que os termos intermediários se cancelam:
Então, a fórmula para a soma parcial
é:
Passo 5
Agora, para verificar se a série converge ou diverge, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que conforme
cresce,
também cresce sem limites, então:
Portanto:
Passo 6
Como o limite de
existe e é um número finito, a série converge. A soma dessa série é:
Resposta
A série converge e a sua soma é
.