Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série (Sn) e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. sumn=1^infty(1ln (n+2)-1ln (n+1))

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série sumn=1^infty(1ln (n+2) - 1ln (n+1)) e, a partir daí, determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, também queremos saber qual é essa soma final. A série que estamos analisando é:
Vamos precisar entender sobre séries telescópicas e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde muitos termos se cancelam quando somamos de uma certa forma. Olhando para a nossa série, vemos que cada termo é uma diferença:
1ln (n+2) - 1ln (n+1)
Se somarmos vários desses termos, veremos que grande parte deles vai se anular.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial Sn = sumk=1^n(1ln (k+2) - 1ln (k+1)) , que é a soma dos primeiros Sn = (1ln 3 - 1ln 2) + (1ln 4 - 1ln 3) + cdots + (1ln (n+2) - 1ln (n+1)) termos da série:
Desmembrando essa soma:

Passo 4

Observamos que os termos intermediários se cancelam:
Sn = 1ln (n+2) - 1ln 2
Então, a fórmula para a soma parcial Sn = 1ln (n+2) - 1ln 2 é:

Passo 5

Agora, para verificar se a série converge ou diverge, vamos analisar o limite de limn to infty Sn = limn to infty (1ln (n+2) - 1ln 2) quando limn to infty 1ln (n+2) = 0 tende ao infinito:
limn to infty Sn = 0 - 1ln 2 = -1ln 2
Sabemos que conforme cresce, também cresce sem limites, então:
Portanto:

Passo 6

Como o limite de -1ln 2 existe e é um número finito, a série converge. A soma dessa série é:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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