Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série (Sn) e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. sumn=1^infty 4(4 n-3)(4 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . O que precisamos fazer é encontrar uma fórmula para a soma parcial dessa série, que chamaremos de , e usar essa fórmula para descobrir se a série converge (ou seja, se ela chega perto de um número específico) ou diverge (não se estabiliza). Se ela convergir, vamos também descobrir qual é essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série usando frações parciais. Isso ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar.
Temos:
4(4n-3)(4n+1) = A4n-3 + B4n+1
Vamos encontrar os valores de e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 4 = A(4n + 1) + B(4n - 3) para eliminar os denominadores:
4 = A(4 cdot 34 + 1) + B(0) Rightarrow 4 = A(3 + 1) Rightarrow 4 = 4A Rightarrow A = 1
Agora, vamos resolver para 4 = A(0) + B(4 cdot (-14) - 3) Rightarrow 4 = B(-1 -3) Rightarrow 4 = -4B Rightarrow B = -1 e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Se :
Se :
Então, e .

Passo 4

Agora que encontramos 4(4n-3)(4n+1) = 14n-3 - 14n+1 e sumn=1^infty ( 14n-3 - 14n+1 ) , podemos reescrever o termo geral da série:
Isso significa que a série original pode ser escrita como:

Passo 5

Vamos escrever as primeiras somas parciais para entender o padrão:
Sn = ( 11 - 15 ) + ( 15 - 19 ) + ( 19 - 113 ) + dots + ( 14n-3 - 14n+1 )
Observa-se que termos intermediários se cancelam:
Sn = 1 - 14n+1

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da soma parcial limn to infty Sn = limn to infty (1 - 14n+1) = 1 - 0 = 1 quando tende ao infinito:
Como a soma parcial se aproxima de 1 quando fica muito grande, a série converge.

Resposta

A série converge, e a soma da série é igual a 1.

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