Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série
e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
. O que precisamos fazer é encontrar uma fórmula para a soma parcial dessa série, que chamaremos de
, e usar essa fórmula para descobrir se a série converge (ou seja, se ela chega perto de um número específico) ou diverge (não se estabiliza). Se ela convergir, vamos também descobrir qual é essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série usando frações parciais. Isso ajuda a dividir a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar.
Temos:
Vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Se
:
Se
:
Então,
e
.
Passo 4
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever o termo geral da série:
Isso significa que a série original pode ser escrita como:
Passo 5
Vamos escrever as primeiras somas parciais para entender o padrão:
Observa-se que termos intermediários se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da soma parcial
quando
tende ao infinito:
Como a soma parcial se aproxima de 1 quando
fica muito grande, a série converge.
Resposta
A série
converge, e a soma da série é igual a 1.