Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série
e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita:
. A tarefa é encontrar uma fórmula para a soma parcial dessa série, que chamamos de
, e usar essa fórmula para ver se a série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge. Se convergir, a gente também precisa achar qual é essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na expressão da série:
. Isso lembra uma técnica chamada frações parciais, onde a gente decompõe uma fração complicada em uma soma de frações mais simples. Vamos tentar fazer isso aqui.
Passo 3
Vamos assumir que podemos escrever:
Nosso objetivo é achar os valores de
e
que fazem isso ser verdade.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos distribuir os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para isso ser válido para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados.
Passo 5
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos simplificar dividindo por 2:
Substituindo
na segunda equação:
E então:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração inicial:
Isso significa que cada termo da série é a diferença de duas frações simples.
Passo 7
Vamos agora escrever a soma parcial
usando essa decomposição:
Se a gente expandir essa soma, vai notar que muitas parcelas vão se cancelar, isso é chamado de telescópio.
Passo 8
Expandindo a soma, temos:
Note que
,
, etc., vão se cancelando:
Passo 9
Agora que temos a expressão para
, vamos analisar o comportamento da soma quando
tende ao infinito para ver se a série converge ou diverge.
Passo 10
Calculando o limite de
quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e a soma da série infinita é
.