Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série (Sn) e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. sumn=1^infty 6(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita: . A tarefa é encontrar uma fórmula para a soma parcial dessa série, que chamamos de , e usar essa fórmula para ver se a série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge. Se convergir, a gente também precisa achar qual é essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na expressão da série: . Isso lembra uma técnica chamada frações parciais, onde a gente decompõe uma fração complicada em uma soma de frações mais simples. Vamos tentar fazer isso aqui.

Passo 3

Vamos assumir que podemos escrever:
6(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Nosso objetivo é achar os valores de e que fazem isso ser verdade.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 6 = A(2n+1) + B(2n-1) para eliminar os denominadores, temos:
6 = A cdot 2n + A cdot 1 + B cdot 2n - B cdot 1
Vamos distribuir os termos:
6 = (2A + 2B)n + (A - B)
Agrupando os termos semelhantes:
Para isso ser válido para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados.

Passo 5

Assim, temos o seguinte sistema de equações:
2A + 2B = 0 A - B = 6
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos simplificar dividindo por 2:
A + B = 0 implies B = -A
Substituindo A - (-A) = 6 implies 2A = 6 implies A = 3 na segunda equação:
B = -3
E então:

Passo 6

Agora que temos 6(2n-1)(2n+1) = 32n-1 - 32n+1 e , podemos reescrever a fração inicial:
Isso significa que cada termo da série é a diferença de duas frações simples.

Passo 7

Vamos agora escrever a soma parcial Sn = sumk=1^n ( 32k-1 - 32k+1 ) usando essa decomposição:
Se a gente expandir essa soma, vai notar que muitas parcelas vão se cancelar, isso é chamado de telescópio.

Passo 8

Expandindo a soma, temos:
Sn = ( 31 - 33 ) + ( 33 - 35 ) + ( 35 - 37 ) + cdots + ( 32n-1 - 32n+1 )
Note que Sn = 3 - 32n+1 , , etc., vão se cancelando:

Passo 9

Agora que temos a expressão para , vamos analisar o comportamento da soma quando tende ao infinito para ver se a série converge ou diverge.

Passo 10

Calculando o limite de limn to infty Sn = limn to infty ( 3 - 32n+1 ) = 3 - 0 = 3 quando :
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e a soma da série infinita é .

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