Teste a convergência ou divergência das séries. sumn=1^infty 1n ln n[ln (ln n)]^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e, especificamente, aplicar o Teste da Condensação de Cauchy, que ajuda bastante nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é de termos positivos e decrescentes, o que é requisito para aplicar o Teste da Condensação de Cauchy. Observando o termo geral:
an = 1n ln n [ln (ln n)]^2
Para , todos os termos no denominador são positivos, então . Além disso, conforme aumenta, diminui porque o denominador cresce. Portanto, a série atende aos critérios para aplicar o teste.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Condensação de Cauchy, que diz que a série a2^k = 12^k ln 2^k [ln (ln 2^k)]^2 = 12^k cdot k ln 2 [ln (k ln 2)]^2 converge se e somente se a série condensada 2^k a2^k = 2^k2^k cdot k ln 2 [ln (k ln 2)]^2 = 1k ln 2 [ln (k ln 2)]^2 converge. Vamos condensar nossa série:
sumk=1^infty 1k [ln (k ln 2)]^2
Multiplicando por :
Então, a série condensada fica:

Passo 4

Simplificando, para grandes valores de sumk=1^infty 1k (ln k)^2 , , já que é uma constante. Assim, a série condensada se assemelha a:

Passo 5

Para determinar a convergência dessa nova série, podemos comparar com uma integral. Consideramos a integral:
integral2^infty 1x (ln x)^2 dx
Fazendo a substituição integralln 2^infty 1u^2 du = [ -1u ]ln 2^infty = 0 - ( -1ln 2 ) = 1ln 2 , , a integral se torna:
Como a integral converge, pela comparação, a série condensada também converge.

Passo 6

Como a série condensada converge, pelo Teste da Condensação de Cauchy, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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