Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e, especificamente, aplicar o Teste da Condensação de Cauchy, que ajuda bastante nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é de termos positivos e decrescentes, o que é requisito para aplicar o Teste da Condensação de Cauchy. Observando o termo geral:
Para
, todos os termos no denominador são positivos, então
. Além disso, conforme
aumenta,
diminui porque o denominador cresce. Portanto, a série atende aos critérios para aplicar o teste.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Condensação de Cauchy, que diz que a série
converge se e somente se a série condensada
converge. Vamos condensar nossa série:
Multiplicando por
:
Então, a série condensada fica:
Passo 4
Simplificando, para grandes valores de
,
, já que
é uma constante. Assim, a série condensada se assemelha a:
Passo 5
Para determinar a convergência dessa nova série, podemos comparar com uma integral. Consideramos a integral:
Fazendo a substituição
,
, a integral se torna:
Como a integral converge, pela comparação, a série condensada
também converge.
Passo 6
Como a série condensada converge, pelo Teste da Condensação de Cauchy, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.