Encontre uma fórmula fechada para a sequência definida por .

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência que é definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula fechada para essa sequência. Isso significa que queremos expressar de uma forma que não dependa de termos anteriores, ou seja, uma expressão direta que nos dá qualquer termo da sequência sem precisar calcular os anteriores. Para isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os dois termos que compõem : e . Ambos são termos de progressões geométricas, onde a razão da primeira é 3 e da segunda é 2. Uma fórmula fechada é justamente uma combinação desses termos que nos permite calcular diretamente para qualquer valor de .

Passo 3

Como os dois componentes da sequência são independentes (um envolve a base 3 e o outro a base 2), podemos simplesmente somar as duas expressões porque a soma de duas progressões geométricas ainda nos dá uma sequência bem definida. Portanto, a fórmula fechada para é a soma dessas duas potências.

Passo 4

Então, juntando tudo, a fórmula fechada fica assim:
Essa expressão nos permite calcular qualquer termo da sequência sem precisar dos termos anteriores. Por exemplo, se quisermos encontrar , basta substituir por 3:

Resposta

A fórmula fechada para a sequência é .

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