Encontre uma fórmula para a função inversa, ou seja, dada
obtenha
em cada caso.
OBS. Em (b) lembre-se que, se
então a função inversa é
.
OBS. Em (b) lembre-se que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a função inversa de
. Isso significa que, dado um valor de
, queremos descobrir qual é o
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar
e, quem sabe, usar o logaritmo natural, já que temos uma exponencial na expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação original:
Nosso objetivo é encontrar
em termos de
. Para isso, vamos começar multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Passo 3
Agora, distribuímos o
dentro do parênteses:
Queremos isolar os termos que contêm
em um lado da equação. Vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 4
Vamos trazer todos os termos com
para um lado. Subtraia
de ambos os lados:
Agora, podemos fatorar
no lado esquerdo:
Passo 5
Para isolar
, vamos dividir ambos os lados por
:
Perceba que a fração pode ser simplificada multiplicando numerador e denominador por -1:
Passo 6
Agora, para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Lembrando que
:
Resposta
A função inversa é dada por:
Exercícios relacionados
Seja
um número real. Considere a seguinte definição:
Determine
sabendo que
.
Prove que a função
é ímpar.
Prove que a função
é par.
Dê exemplo de um polinômio
com o menor grau possível e que possui os números
e 1 como raizes (isso mesmo, 1 é raíz duplicada).