Dê exemplo de um polinômio com o menor grau possível e que possui os números e 1 como raizes (isso mesmo, 1 é raíz duplicada).
Passo 1
Então, vamos lá! Você me pediu para encontrar um polinômio com o menor grau possível que tenha as raízes , , e novamente (ou seja, a raiz é duplicada).
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com polinômios e suas raízes. As raízes de um polinômio são os valores de que fazem com que . Para construir um polinômio a partir de suas raízes, usamos o fato de que cada raiz contribui com um fator linear . Se uma raiz se repete, como é o caso da raiz aqui, o fator correspondente aparece mais de uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as raízes que o polinômio deve ter: , , e novamente. Como a raiz se repete, isso significa que o fator correspondente aparecerá duas vezes no polinômio.
Passo 3
Agora, escrevemos o polinômio como o produto dos fatores lineares correspondentes a cada raiz. Cada raiz contribui com um fator .
Então, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada fator:
Aqui, indica que a raiz tem multiplicidade 2.
Passo 5
Para deixar o polinômio de uma forma mais expandida, podemos multiplicar os fatores:
Primeiro, multiplique e :
Agora, multiplique esse resultado por :
Passo 6
Vamos expandir primeiro:
Agora, multiplicamos por :
Passo 7
Multiplicando termo a termo:
Agora, somamos todos esses termos:
Passo 8
Finalmente, combinamos termos semelhantes:
Resposta
Um exemplo de polinômio com o menor grau possível que possui as raízes , , e é: