Dê exemplo de um polinômio com o menor grau possível e que possui os números e 1 como raizes (isso mesmo, 1 é raíz duplicada).

Passo 1

Então, vamos lá! Você me pediu para encontrar um polinômio com o menor grau possível que tenha as raízes , , e novamente (ou seja, a raiz é duplicada).
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com polinômios e suas raízes. As raízes de um polinômio são os valores de que fazem com que . Para construir um polinômio a partir de suas raízes, usamos o fato de que cada raiz contribui com um fator linear . Se uma raiz se repete, como é o caso da raiz aqui, o fator correspondente aparece mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as raízes que o polinômio deve ter: , , e novamente. Como a raiz se repete, isso significa que o fator correspondente aparecerá duas vezes no polinômio.

Passo 3

Agora, escrevemos o polinômio como o produto dos fatores lineares correspondentes a cada raiz. Cada raiz contribui com um fator .
Então, temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada fator:
Aqui, indica que a raiz tem multiplicidade 2.

Passo 5

Para deixar o polinômio de uma forma mais expandida, podemos multiplicar os fatores:
Primeiro, multiplique e :
Agora, multiplique esse resultado por :

Passo 6

Vamos expandir primeiro:
Agora, multiplicamos por :

Passo 7

Multiplicando termo a termo:
Agora, somamos todos esses termos:

Passo 8

Finalmente, combinamos termos semelhantes:

Resposta

Um exemplo de polinômio com o menor grau possível que possui as raízes , , e é:

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Prove que a função é par.
Encontre uma fórmula para a função inversa, ou seja, dada obtenha em cada caso.

OBS. Em (b) lembre-se que, se então a função inversa é .
A função sinal é definida por
Faça o gráfico de .
Se e , encontre uma função tal que .
Sugestão: verifique o que deve acontecer com para se transformar em .