Dê exemplo de um polinômio
com o menor grau possível e que possui os números
e 1 como raizes (isso mesmo, 1 é raíz duplicada).
Passo 1
Então, vamos lá! Você me pediu para encontrar um polinômio
com o menor grau possível que tenha as raízes
,
,
e
novamente (ou seja, a raiz
é duplicada).
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com polinômios e suas raízes. As raízes de um polinômio são os valores de
que fazem com que
. Para construir um polinômio a partir de suas raízes, usamos o fato de que cada raiz
contribui com um fator linear
. Se uma raiz se repete, como é o caso da raiz
aqui, o fator correspondente aparece mais de uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as raízes que o polinômio deve ter:
,
,
e
novamente. Como a raiz
se repete, isso significa que o fator correspondente aparecerá duas vezes no polinômio.
Passo 3
Agora, escrevemos o polinômio como o produto dos fatores lineares correspondentes a cada raiz. Cada raiz
contribui com um fator
.
Então, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada fator:
Aqui,
indica que a raiz
tem multiplicidade 2.
Passo 5
Para deixar o polinômio de uma forma mais expandida, podemos multiplicar os fatores:
Primeiro, multiplique
e
:
Agora, multiplique esse resultado por
:
Passo 6
Vamos expandir
primeiro:
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 7
Multiplicando termo a termo:
Agora, somamos todos esses termos:
Passo 8
Finalmente, combinamos termos semelhantes:
Resposta
Um exemplo de polinômio com o menor grau possível que possui as raízes
,
,
e
é: