Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série. sumn=1^infty(sen 2)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série sumn=1^infty(sen 2)^n. A gente vai ver se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também calcula a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que é essencial aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão. No nosso caso, a série começa em n=1, mas podemos ajustar isso.

Passo 3

Observando a série sumn=1^infty(sen 2)^n, percebemos que ela é uma série geométrica onde a razão r é igual a sen 2. Precisamos verificar se o valor absoluto de r é menor que 1 para que a série converja.

Passo 4

Calculando sen 2, sabemos que sen 2 approx 0,9093. Como 0,9093 < 1, a série geométrica converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é S = a1 - r, onde a é o primeiro termo da série.

Passo 6

Na nossa série, o primeiro termo quando n=1 é (sen 2)^1 = sen 2. Então, a = sen 2 e r = sen 2.

Passo 7

Substituindo na fórmula da soma:
S = sen 21 - sen 2

Resposta

A série é convergente e a soma dela é S = dfracsen,21 - sen,2.

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