Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série
. A gente vai ver se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também calcula a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que é essencial aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. No nosso caso, a série começa em
, mas podemos ajustar isso.
Passo 3
Observando a série
, percebemos que ela é uma série geométrica onde a razão
é igual a
. Precisamos verificar se o valor absoluto de
é menor que 1 para que a série converja.
Passo 4
Calculando
, sabemos que
. Como
, a série geométrica converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é
, onde
é o primeiro termo da série.
Passo 6
Na nossa série, o primeiro termo quando
é
. Então,
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula da soma:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.