Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma fórmula que dê o termo geral da sequência:
. Isso significa que queremos uma expressão que, para qualquer posição na sequência, nos dê o valor desse termo. Para isso, vamos precisar entender como os termos estão formando a sequência e usar conceitos de sequências numéricas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos da sequência:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- E assim por diante…
Parece que cada termo é uma diferença entre a raiz quadrada de dois números consecutivos. Vamos tentar identificar um padrão geral.
Passo 3
Vamos analisar a posição de cada termo. Vamos chamar o primeiro termo de posição
, o segundo de
, e assim por diante.
- Para
: - Para
: - Para
:
Observamos que:
- O primeiro número dentro da raiz quadrada aumenta de 1 a cada termo.
- O segundo número dentro da raiz quadrada também aumenta de 1 a cada termo e é sempre 1 unidade maior que o primeiro.
Passo 4
Com base nessa observação, podemos expressar os números dentro das raízes em termos de
.
- O primeiro número dentro da raiz no termo
é . - O segundo número dentro da raiz no termo
é .
Portanto, o termo geral pode ser escrito como:
Resposta
A fórmula para o termo geral da sequência é: