Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
{raiz(2) - raiz(3), raiz(3) - raiz(4), raiz(4) - raiz(5), ...}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma fórmula que dê o termo geral da sequência: {raiz(2) - raiz(3), raiz(3) - raiz(4), raiz(4) - raiz(5), ...}. Isso significa que queremos uma expressão que, para qualquer posição na sequência, nos dê o valor desse termo. Para isso, vamos precisar entender como os termos estão formando a sequência e usar conceitos de sequências numéricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos da sequência:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. E assim por diante…
Parece que cada termo é uma diferença entre a raiz quadrada de dois números consecutivos. Vamos tentar identificar um padrão geral.

Passo 3

Vamos analisar a posição de cada termo. Vamos chamar o primeiro termo de posição , o segundo de , e assim por diante.
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que:
  • O primeiro número dentro da raiz quadrada aumenta de 1 a cada termo.
  • O segundo número dentro da raiz quadrada também aumenta de 1 a cada termo e é sempre 1 unidade maior que o primeiro.

Passo 4

Com base nessa observação, podemos expressar os números dentro das raízes em termos de n.
  • O primeiro número dentro da raiz no termo n é .
  • O segundo número dentro da raiz no termo n é .
Portanto, o termo geral pode ser escrito como:

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:

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