integral xx^2+4 x+13 d x

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . Isso está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição e completar o quadrado. Vamos precisar manipular a expressão no denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x + 2)^2 + 9 . Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.
integral x(x + 2)^2 + 9 , dx
Agora, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador integral (x + 2) - 2(x + 2)^2 + 9 , dx = integral x + 2(x + 2)^2 + 9 , dx - 2 integral 1(x + 2)^2 + 9 , dx . Podemos reescrever como :

Passo 4

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Primeiro, a integral integral x + 2(x + 2)^2 + 9 , dx = 12 ln|u| + C = 12 ln((x + 2)^2 + 9) + C . Aqui, fazemos uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, .
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C . Isso é similar à forma da integral da função arco-tangente:
-2 integral 1(x + 2)^2 + 9 , dx = -2 ( 13 arctan(x + 23) ) + C = -23 arctan(x + 23) + C
Aqui, então .
Logo,

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que integramos:
12 ln((x + 2)^2 + 9) - 23 arctan(x + 23) + C

Resposta

integral xx^2+4x+13 , dx = 12 ln(x^2 + 4x + 13) - 23 arctan(x + 23) + C

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