Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar uma fórmula que descreva o termo geral da sequência dada, que é . Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências e padrões numéricos, além de observar como os termos estão se comportando para identificar uma regra geral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência dos denominadores dos termos:
Perceba que os sinais alternam entre positivo e negativo. Isso significa que podemos representar os sinais usando uma expressão envolvendo ou .

Passo 3

Agora, vamos focar nos denominadores: . Vamos tentar identificar um padrão ou uma fórmula que gere esses números.
Observando:
  • (aqui não segue exatamente a multiplicação por 3)
  • (novamente, não é uma multiplicação constante)
Parece que não há uma multiplicação constante ou uma adição fixa. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar expressar os denominadores em termos de potências de 3:
Notamos que não é uma potência de 3, mas é . Isso sugere que talvez exista uma combinação de potências de 3 com algum ajuste.

Passo 5

Vamos tentar estabelecer uma relação para o denominador geral. Observando os denominadores:
Podemos notar que para , os denominadores são potências de 3: . No entanto, para , temos que não é .

Passo 6

Isso indica que a sequência dos denominadores não segue uma fórmula simples baseada apenas em potências de 3. Talvez exista uma outra relação ou uma combinação de termos.
Considerando que é uma sequência alternada e os denominadores sejam uma combinação lineares dos expoentes, podemos propor que:
Onde é uma constante que ajusta o valor para . Vamos testar:
Para :
Então, a fórmula seria . Porém, para :
Isso não funciona. Parece que essa abordagem não está correta.

Passo 7

Vamos então considerar que a sequência dos denominadores pode ser definida por uma recorrência ou outra relação mais complexa. No entanto, com base nos termos fornecidos, podemos aproximar a fórmula geral como:
Isso cobre os denominadores 1, 3, 9, 27, 81, etc., mas não cobre o termo 37. Portanto, com os dados fornecidos, a melhor aproximação é considerar que o denominador segue , e talvez o termo 37 seja uma exceção ou um erro.

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:

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Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja a função definida por:
(d) Determine e .
Seja a função definida por:
(g) Existe ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?