Encontre uma fórmula para y(t) com y(0)=1 e e desenhe seu gráfico. Quem é y_infinito ?
(a) y' + 2y = 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é com a condição inicial . O conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar usar o método integrante para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Ela está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por . Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito integra para , onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é . O gráfico dessa função começa em e se aproxima de conforme aumenta.

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