(2 pontos) Determine as raízes quadradas de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as raízes quadradas de
. Isso está relacionado ao estudo de números complexos, mais especificamente sobre como calcular a raiz quadrada de um número complexo. Para resolver isso, vamos precisar usar a forma algébrica dos números complexos e um método para encontrar suas raízes quadradas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ter duas raízes quadradas, que também serão números complexos. Queremos encontrar
, ou seja, encontrar um número complexo
tal que
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Isso equivale a:
Comparando com
, temos duas equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Arrumando os termos:
Passo 5
Vamos tratar isso como uma equação quadrática em termos de
. Seja
, então:
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Como
não pode ser negativo, descartamos
e temos
, então
.
Passo 6
Agora, usando
, encontramos
:
Então, uma raiz quadrada é
.
Usando
:
A outra raiz quadrada é
.
Resposta
As raízes quadradas de
são
e
.