(2 pontos) Determine as raízes quadradas de -15 + 8 i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as raízes quadradas de . Isso está relacionado ao estudo de números complexos, mais especificamente sobre como calcular a raiz quadrada de um número complexo. Para resolver isso, vamos precisar usar a forma algébrica dos números complexos e um método para encontrar suas raízes quadradas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ter duas raízes quadradas, que também serão números complexos. Queremos encontrar , ou seja, encontrar um número complexo tal que .

Passo 3

Vamos expandir :
Isso equivale a:
Comparando com , temos duas equações:
á

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Arrumando os termos:

Passo 5

Vamos tratar isso como uma equação quadrática em termos de . Seja , então:
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Como não pode ser negativo, descartamos e temos , então .

Passo 6

Agora, usando , encontramos :
Então, uma raiz quadrada é .
Usando :
A outra raiz quadrada é .

Resposta

As raízes quadradas de são e .

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