(2 pontos) Expresse na forma a + b i o número complexo (1+i)^2023
Dica: Use a representação polar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos expressar o número complexo (1+i)^2023 na forma . Para isso, vamos usar a representação polar dos números complexos, que facilita o cálculo de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma polar. Um número complexo na forma pode ser representado como , onde:
  • é o módulo do número complexo, calculado por r.
  • é o argumento, que é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo, calculado por theta.

Passo 3

Vamos calcular o módulo r de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o argumento theta:
Então, podemos escrever na forma polar:

Passo 5

Para elevar um número complexo na forma polar a uma potência, usamos a fórmula de De Moivre:
Aqui, .

Passo 6

Aplicando a fórmula de De Moivre:
Simplificando o módulo:

Passo 7

Agora, vamos simplificar o ângulo . Como os ângulos periódicos se repetem a cada , podemos encontrar o ângulo equivalente dentro de :
Então:

Passo 8

Calculando e :

Passo 9

Substituindo na expressão:
Simplificando os expoentes:
Portanto:

Resposta

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