(2 pontos) Expresse na forma
o número complexo
Dica: Use a representação polar.
Dica: Use a representação polar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos expressar o número complexo
na forma
. Para isso, vamos usar a representação polar dos números complexos, que facilita o cálculo de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma polar. Um número complexo na forma
pode ser representado como , onde:
-
é o módulo do número complexo, calculado por . -
é o argumento, que é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo, calculado por .
Passo 3
Vamos calcular o módulo
de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o argumento
:
Então, podemos escrever
na forma polar:
Passo 5
Para elevar um número complexo na forma polar a uma potência, usamos a fórmula de De Moivre:
Aqui,
.
Passo 6
Aplicando a fórmula de De Moivre:
Simplificando o módulo:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o ângulo
. Como os ângulos periódicos se repetem a cada
, podemos encontrar o ângulo equivalente dentro de
:
Então:
Passo 8
Calculando
e :
Passo 9
Substituindo na expressão:
Simplificando os expoentes:
Portanto: