Encontre a frequência das pequenas oscilações em torno de um movimento circular de uma partícula sob a influência de uma força atrativa proporcional ao quadrado da distância e mostre que essa frequência é igual a frequência de revolução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a frequência das pequenas oscilações de uma partícula que está se movendo em um caminho circular. Essa partícula está sendo puxada por uma força que é proporcional ao quadrado da distância. Além disso, a gente precisa mostrar que essa frequência de oscilações é igual à frequência com que a partícula dá voltas no círculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e oscilações harmônicas, aplicando algumas fórmulas da física.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a força que está atuando na partícula. A força atrativa é proporcional ao quadrado da distância, então podemos escrever:
Aqui, é uma constante de proporcionalidade positiva, e é a distância da partícula ao centro do movimento circular. O sinal negativo indica que a força é atrativa, ou seja, puxa a partícula em direção ao centro.

Passo 3

Para a partícula manter um movimento circular estável, a força centrípeta necessária para essa trajetória deve ser igual à força atrativa fornecida. A força centrípeta é dada por:
í
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a frequência angular de revolução,
  • é o raio da trajetória circular.
Igualando as duas forças:

Passo 4

Vamos isolar nessa equação para encontrar a relação entre a frequência angular e os parâmetros do sistema:
Essa é a expressão para a frequência angular de revolução da partícula em movimento circular.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece se a partícula sofre uma pequena perturbação radial, ou seja, ela se move um pouquinho para fora ou para dentro do caminho circular. Vamos chamar essa pequena variação de , então a nova posição radial é:
Onde é o raio da trajetória circular sem perturbação, e é pequeno comparado a .

Passo 6

Com essa pequena variação, a força atrativa passa a ser:
Como é pequeno, ignoramos o termo . A força centrípeta com a nova posição é:
í
Igualando as forças e considerando apenas os termos lineares em :
Já sabemos que , então os termos constantes se cancelam, e ficamos com:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por :
Mas já tínhamos , então substituindo:
Logo,

Passo 8

Observamos que a equação obtida para as oscilações é a mesma que a frequência angular de revolução:
çõçã
Portanto, as frequências são iguais:
çõçã

Resposta

A frequência das pequenas oscilações é igual à frequência de revolução do sistema, ou seja:
çõçã

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onde é a área da elipse e é o momento angular.
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