Encontre a frequência das pequenas oscilações em torno de um movimento circular de uma partícula sob a influência de uma força atrativa proporcional ao quadrado da distância e mostre que essa frequência é igual a frequência de revolução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a frequência das pequenas oscilações de uma partícula que está se movendo em um caminho circular. Essa partícula está sendo puxada por uma força que é proporcional ao quadrado da distância. Além disso, a gente precisa mostrar que essa frequência de oscilações é igual à frequência com que a partícula dá voltas no círculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e oscilações harmônicas, aplicando algumas fórmulas da física.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a força que está atuando na partícula. A força atrativa é proporcional ao quadrado da distância, então podemos escrever:
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade positiva, e
é a distância da partícula ao centro do movimento circular. O sinal negativo indica que a força é atrativa, ou seja, puxa a partícula em direção ao centro.
Passo 3
Para a partícula manter um movimento circular estável, a força centrípeta necessária para essa trajetória deve ser igual à força atrativa fornecida. A força centrípeta é dada por:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a frequência angular de revolução, -
é o raio da trajetória circular.
Igualando as duas forças:
Passo 4
Vamos isolar
nessa equação para encontrar a relação entre a frequência angular e os parâmetros do sistema:
Essa é a expressão para a frequência angular de revolução da partícula em movimento circular.
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece se a partícula sofre uma pequena perturbação radial, ou seja, ela se move um pouquinho para fora ou para dentro do caminho circular. Vamos chamar essa pequena variação de
, então a nova posição radial é:
Onde
é o raio da trajetória circular sem perturbação, e
é pequeno comparado a
.
Passo 6
Com essa pequena variação, a força atrativa passa a ser:
Como
é pequeno, ignoramos o termo
. A força centrípeta com a nova posição é:
Igualando as forças e considerando apenas os termos lineares em
:
Já sabemos que
, então os termos constantes se cancelam, e ficamos com:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Mas já tínhamos
, então substituindo:
Logo,
Passo 8
Observamos que a equação obtida para as oscilações é a mesma que a frequência angular de revolução:
Portanto, as frequências são iguais:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações é igual à frequência de revolução do sistema, ou seja:
Exercícios relacionados
Uma partícula se move em uma órbita circular sob a influência da força central atrativa
. Mostre que se
decresce repentinamente para a metade de seu valor original, a órbita da partícula se torna parabólica.
Resolva a equação da órbita para o caso em que a força é nula
. Mostre que sua solução está de acordo com a primeira lei de Newton.
Uma partícula de massa
se move sob a ação de uma força cuja energia potencial é
. Inicialmente a partícula se move em um círculo de raio
. Encontre a velocidade orbital
.
A partícula então recebe um impulso em uma direção fazendo um ângulo
com a direção de sua velocidade inicial. Use as leis de conservação para determinar as distâncias mínima e máxima, com relação à origem, durante o movimento subsequente. Explique fisicamente seus resultados para os casos limites
e
.
A partícula então recebe um impulso
Escreva a equação da órbita para um oscilador harmônico isotrópico de massa
. Resolva a equação e verifique que a trajetória é uma elipse com centro na origem. Verifique ainda que o período do movimento é dado por:
onde
é a área da elipse e
é o momento angular.
Discuta qualitativamente, usando o potencial efetivo, o que ocorreria com as órbitas se o potencial fosse repulsivo, ou seja, , com
. Como a equação da órbita mudaria nesse caso? Qual a forma da órbita?
Discuta qualitativamente, usando o potencial efetivo, o que ocorreria com as órbitas se o potencial fosse repulsivo, ou seja,