Encontre a frequência das pequenas oscilações em torno de um movimento circular de uma partícula sob a influência de uma força atrativa proporcional ao quadrado da distância e mostre que essa frequência é igual a frequência de revolução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a frequência das pequenas oscilações de uma partícula que está se movendo em um caminho circular. Essa partícula está sendo puxada por uma força que é proporcional ao quadrado da distância. Além disso, a gente precisa mostrar que essa frequência de oscilações é igual à frequência com que a partícula dá voltas no círculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e oscilações harmônicas, aplicando algumas fórmulas da física.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a força que está atuando na partícula. A força atrativa é proporcional ao quadrado da distância, então podemos escrever:
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade positiva, e
é a distância da partícula ao centro do movimento circular. O sinal negativo indica que a força é atrativa, ou seja, puxa a partícula em direção ao centro.
Passo 3
Para a partícula manter um movimento circular estável, a força centrípeta necessária para essa trajetória deve ser igual à força atrativa fornecida. A força centrípeta é dada por:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a frequência angular de revolução, -
é o raio da trajetória circular.
Igualando as duas forças:
Passo 4
Vamos isolar
nessa equação para encontrar a relação entre a frequência angular e os parâmetros do sistema:
Essa é a expressão para a frequência angular de revolução da partícula em movimento circular.
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece se a partícula sofre uma pequena perturbação radial, ou seja, ela se move um pouquinho para fora ou para dentro do caminho circular. Vamos chamar essa pequena variação de
, então a nova posição radial é:
Onde
é o raio da trajetória circular sem perturbação, e
é pequeno comparado a
.
Passo 6
Com essa pequena variação, a força atrativa passa a ser:
Como
é pequeno, ignoramos o termo
. A força centrípeta com a nova posição é:
Igualando as forças e considerando apenas os termos lineares em
:
Já sabemos que
, então os termos constantes se cancelam, e ficamos com:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Mas já tínhamos
, então substituindo:
Logo,
Passo 8
Observamos que a equação obtida para as oscilações é a mesma que a frequência angular de revolução:
Portanto, as frequências são iguais:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações é igual à frequência de revolução do sistema, ou seja: