Encontre a frequência das pequenas oscilações em torno de um movimento circular de uma partícula sob a influência de uma força atrativa proporcional ao quadrado da distância e mostre que essa frequência é igual a frequência de revolução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a frequência das pequenas oscilações de uma partícula que está se movendo em um caminho circular. Essa partícula está sendo puxada por uma força que é proporcional ao quadrado da distância. Além disso, a gente precisa mostrar que essa frequência de oscilações é igual à frequência com que a partícula dá voltas no círculo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e oscilações harmônicas, aplicando algumas fórmulas da física.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a força que está atuando na partícula. A força atrativa é proporcional ao quadrado da distância, então podemos escrever:
F = -k r^2
Aqui, é uma constante de proporcionalidade positiva, e é a distância da partícula ao centro do movimento circular. O sinal negativo indica que a força é atrativa, ou seja, puxa a partícula em direção ao centro.

Passo 3

Para a partícula manter um movimento circular estável, a força centrípeta necessária para essa trajetória deve ser igual à força atrativa fornecida. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = m omega^2 r í
Onde:
  • m omega^2 r = k r^2 é a massa da partícula,
  • é a frequência angular de revolução,
  • é o raio da trajetória circular.
Igualando as duas forças:

Passo 4

Vamos isolar omega^2 = k rm nessa equação para encontrar a relação entre a frequência angular e os parâmetros do sistema:
Essa é a expressão para a frequência angular de revolução da partícula em movimento circular.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece se a partícula sofre uma pequena perturbação radial, ou seja, ela se move um pouquinho para fora ou para dentro do caminho circular. Vamos chamar essa pequena variação de r = r0 + x , então a nova posição radial é:
Onde é o raio da trajetória circular sem perturbação, e é pequeno comparado a .

Passo 6

Com essa pequena variação, a força atrativa passa a ser:
F = -k (r0 + x)^2 approx -k (r0^2 + 2 r0 x)
Como Fcentrípeta = m (omega + de é pequeno, ignoramos o termo m omega^2 r0 + 2 m omega^2 x = -k r0^2 - 2k r0 x . A força centrípeta com a nova posição é:
2 m omega^2 x = -2k r0 x í
Igualando as forças e considerando apenas os termos lineares em :
Já sabemos que , então os termos constantes se cancelam, e ficamos com:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por m omega^2 = -k r0 :
m omega^2 = m ( k r0m ) = k r0
Mas já tínhamos omega^2 = k r0m , então substituindo:
Logo,

Passo 8

Observamos que a equação obtida para as oscilações é a mesma que a frequência angular de revolução:
omegaoscilações^2 = omegarevolução^2 çõçã
Portanto, as frequências são iguais:
omegaoscilações = omegarevolução çõçã

Resposta

A frequência das pequenas oscilações é igual à frequência de revolução do sistema, ou seja:
omegaoscilações = omegarevolução çõçã

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