Uma partícula se move em uma órbita circular sob a influência da força central atrativa F(r)=-kr^2. Mostre que se k decresce repentinamente para a metade de seu valor original, a órbita da partícula se torna parabólica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo em uma órbita circular sob a influência de uma força central atrativa dada por . Nosso objetivo é mostrar que se a constante diminui de repente para metade do seu valor original, a órbita da partícula passa a ser parabólica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente sobre movimento orbital e as leis de conservação de energia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para uma partícula se mover em uma órbita circular, a força central deve fornecer exatamente a força centrípeta necessária para manter a partícula nessa trajetória. A força centrípeta Fc = mv^2r é dada por:
mv^2r = kr^2
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade tangencial,
  • é o raio da órbita.
Como a força central é , para a órbita ser circular, temos:

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade mv^2 = kr da partícula na órbita circular original. Rearranjando a equação acima:
v^2 = km r
v = raizkm r

Passo 4

Em seguida, vamos analisar a energia total da partícula na órbita circular. A energia total E = K + U é a soma da energia cinética K = 12 m v^2 = 12 m ( km r ) = k2 r e da energia potencial U(r) = -integral F(r) , dr = -integral ( -kr^2 ) dr = -kr :
E = k2 r - kr = -k2 r
A energia cinética é:
A energia potencial para uma força central com é dada por:
Portanto, a energia total é:

Passo 5

Agora, queremos saber o que acontece quando E' = -k'2 r = -k22 r = -k4 r diminui para metade do seu valor original, ou seja, E' = 0 = -k4 r . Vamos calcular a nova energia total -k4 r = 0 implies k = 0 :
Para que a órbita seja parabólica, a energia total deve ser igual a zero:
Isso implica que:
No entanto, como não é zero, isso sugere que houve uma mudança na energia total da partícula devido à alteração na força central. Vamos considerar que a mudança súbita na força central não afeta imediatamente a posição e velocidade da partícula, mas apenas altera a força que a mantém na órbita.

Passo 6

Após a redução de mv'^2r = k'r^2 = k2r^2 = k2 r^2 para mv^2 = kr , a nova condição de equilíbrio para uma órbita circular seria:
Comparando com a condição original:
Podemos ver que, com diminuindo para , a força centrípeta fornecida não é mais suficiente para manter a órbita circular com a mesma velocidade. Portanto, a partícula não tem mais energia suficiente para permanecer em uma órbita fechada e passa a seguir uma trajetória aberta.

Passo 7

Em mecânica clássica, a forma da órbita (elíptica, parabólica ou hiperbólica) depende da energia total da partícula:
  • Elíptica: Energia total negativa ( )
  • Parabólica: Energia total zero ( )
  • Hiperbólica: Energia total positiva ( )
Como a redução de aumenta a energia total (já que é menos negativo que ), atingindo zero, a órbita passa a ser parabólica.

Resposta

Após a redução súbita de para metade do seu valor original, a energia total da partícula se torna zero, resultando em uma órbita parabólica.

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