Uma partícula se move em uma órbita circular sob a influência da força central atrativa
. Mostre que se
decresce repentinamente para a metade de seu valor original, a órbita da partícula se torna parabólica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo em uma órbita circular sob a influência de uma força central atrativa dada por
. Nosso objetivo é mostrar que se a constante
diminui de repente para metade do seu valor original, a órbita da partícula passa a ser parabólica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente sobre movimento orbital e as leis de conservação de energia e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para uma partícula se mover em uma órbita circular, a força central deve fornecer exatamente a força centrípeta necessária para manter a partícula nessa trajetória. A força centrípeta
é dada por:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade tangencial, -
é o raio da órbita.
Como a força central é
, para a órbita ser circular, temos:
Passo 3
Agora, vamos determinar a velocidade
da partícula na órbita circular original. Rearranjando a equação acima:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar a energia total da partícula na órbita circular. A energia total
é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética é:
A energia potencial para uma força central com
é dada por:
Portanto, a energia total é:
Passo 5
Agora, queremos saber o que acontece quando
diminui para metade do seu valor original, ou seja,
. Vamos calcular a nova energia total
:
Para que a órbita seja parabólica, a energia total deve ser igual a zero:
Isso implica que:
No entanto, como
não é zero, isso sugere que houve uma mudança na energia total da partícula devido à alteração na força central. Vamos considerar que a mudança súbita na força central não afeta imediatamente a posição e velocidade da partícula, mas apenas altera a força que a mantém na órbita.
Passo 6
Após a redução de
para
, a nova condição de equilíbrio para uma órbita circular seria:
Comparando com a condição original:
Podemos ver que, com
diminuindo para
, a força centrípeta fornecida não é mais suficiente para manter a órbita circular com a mesma velocidade. Portanto, a partícula não tem mais energia suficiente para permanecer em uma órbita fechada e passa a seguir uma trajetória aberta.
Passo 7
Em mecânica clássica, a forma da órbita (elíptica, parabólica ou hiperbólica) depende da energia total da partícula:
- Elíptica: Energia total negativa (
) - Parabólica: Energia total zero (
) - Hiperbólica: Energia total positiva (
)
Como a redução de
aumenta a energia total (já que
é menos negativo que
), atingindo zero, a órbita passa a ser parabólica.
Resposta
Após a redução súbita de
para metade do seu valor original, a energia total da partícula se torna zero, resultando em uma órbita parabólica.
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. Inicialmente a partícula se move em um círculo de raio
. Encontre a velocidade orbital
.
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com a direção de sua velocidade inicial. Use as leis de conservação para determinar as distâncias mínima e máxima, com relação à origem, durante o movimento subsequente. Explique fisicamente seus resultados para os casos limites
e
.
A partícula então recebe um impulso