Uma partícula se move em uma órbita circular sob a influência da força central atrativa . Mostre que se decresce repentinamente para a metade de seu valor original, a órbita da partícula se torna parabólica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo em uma órbita circular sob a influência de uma força central atrativa dada por . Nosso objetivo é mostrar que se a constante diminui de repente para metade do seu valor original, a órbita da partícula passa a ser parabólica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, mais especificamente sobre movimento orbital e as leis de conservação de energia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para uma partícula se mover em uma órbita circular, a força central deve fornecer exatamente a força centrípeta necessária para manter a partícula nessa trajetória. A força centrípeta é dada por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade tangencial,
  • é o raio da órbita.
Como a força central é , para a órbita ser circular, temos:

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade da partícula na órbita circular original. Rearranjando a equação acima:

Passo 4

Em seguida, vamos analisar a energia total da partícula na órbita circular. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial :
A energia cinética é:
A energia potencial para uma força central com é dada por:
Portanto, a energia total é:

Passo 5

Agora, queremos saber o que acontece quando diminui para metade do seu valor original, ou seja, . Vamos calcular a nova energia total :
Para que a órbita seja parabólica, a energia total deve ser igual a zero:
Isso implica que:
No entanto, como não é zero, isso sugere que houve uma mudança na energia total da partícula devido à alteração na força central. Vamos considerar que a mudança súbita na força central não afeta imediatamente a posição e velocidade da partícula, mas apenas altera a força que a mantém na órbita.

Passo 6

Após a redução de para , a nova condição de equilíbrio para uma órbita circular seria:
Comparando com a condição original:
Podemos ver que, com diminuindo para , a força centrípeta fornecida não é mais suficiente para manter a órbita circular com a mesma velocidade. Portanto, a partícula não tem mais energia suficiente para permanecer em uma órbita fechada e passa a seguir uma trajetória aberta.

Passo 7

Em mecânica clássica, a forma da órbita (elíptica, parabólica ou hiperbólica) depende da energia total da partícula:
  • Elíptica: Energia total negativa ( )
  • Parabólica: Energia total zero ( )
  • Hiperbólica: Energia total positiva ( )
Como a redução de aumenta a energia total (já que é menos negativo que ), atingindo zero, a órbita passa a ser parabólica.

Resposta

Após a redução súbita de para metade do seu valor original, a energia total da partícula se torna zero, resultando em uma órbita parabólica.

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