Resolva a equação da órbita para o caso em que a força é nula . Mostre que sua solução está de acordo com a primeira lei de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação da órbita quando a força é nula ( ) e mostrar que essa solução está de acordo com a primeira lei de Newton. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente as leis de movimento de Newton, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa multiplicada pela aceleração:
Onde:
  • é a força resultante,
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração.

Passo 3

Na órbita de um objeto, geralmente consideramos a força gravitacional que age sobre ele. A equação da órbita relaciona a força gravitacional com a aceleração centrípeta necessária para manter o objeto em movimento circular. No entanto, o exercício nos diz que a força é nula ( ).

Passo 4

Com , a segunda lei de Newton fica:
Isso implica que a aceleração também é zero:
Quando a aceleração é zero, significa que a velocidade do objeto é constante. Não há mudança na velocidade ou na direção do movimento.

Passo 5

Sem aceleração, a equação do movimento se torna:
Integrando isso em relação ao tempo, obtemos a posição como uma função linear do tempo:
Onde é a posição inicial e é a velocidade constante.

Passo 6

Essa solução descreve um movimento retilíneo uniforme, ou seja, o objeto se move em linha reta com velocidade constante. Isso está exatamente de acordo com a primeira lei de Newton, que afirma que um objeto permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo uniforme a menos que seja atuado por uma força externa.

Resposta

Portanto, quando a força é nula ( ), a solução da equação da órbita é um movimento retilíneo uniforme, conforme previsto pela primeira lei de Newton.

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