Resolva o problema abaixo, utilizando transformada de Fourier:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Fourier. O que temos aqui é uma equação de onda que descreve como uma função se comporta no tempo e no espaço. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Fourier tanto na função quanto nas derivadas, transformar a equação original em uma forma mais simples que a gente consegue resolver, e depois voltar para o domínio original usando a Transformada Inversa.
Passo 2
Primeiro, a gente aplica a Transformada de Fourier na equação diferencial dada. A Transformada de Fourier transforma a função partial^2 upartial t^2(k, t) = -a^2 k^2 u(k, t) em função de , que representa a frequência. Aplicando isso, a derivada segunda em se transforma em vezes a função transformada. Assim, a equação fica:
Aqui, é a Transformada de Fourier de .
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária em relação ao tempo partial^2 upartial t^2 + a^2 k^2 u = 0 . A equação é:
u(k, t) = A(k) cos(a k t) + B(k) sin(a k t)
Essa é uma equação de movimento harmônico simples, cuja solução geral é:
Passo 4
Precisamos determinar as constantes u(k, 0) = A(k) = f(k) e partial upartial t(k, 0) = -A(k) a k sin(0) + B(k) a k cos(0) = B(k) a k = 0 usando as condições iniciais. Aplicando a Transformada de Fourier nas condições iniciais:
transforma-se em .
transforma-se em .
Substituindo na solução geral:
E para a derivada:
Então, .
Passo 5
Com u(k, t) = f(k) cos(a k t) e u(x, t) = 12pi integral-infty^infty f(k) cos(a k t) e^ikx dk , a solução na frequência fica:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Fourier para voltar para o domínio do espaço:
Usando a propriedade da Transformada de Fourier que relaciona a função original com suas dianas propagadas, chegamos à solução geral da equação de onda.