Resolva o problema abaixo, utilizando transformada de Fourier:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Fourier. O que temos aqui é uma equação de onda que descreve como uma função se comporta no tempo e no espaço. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Fourier tanto na função quanto nas derivadas, transformar a equação original em uma forma mais simples que a gente consegue resolver, e depois voltar para o domínio original usando a Transformada Inversa.

Passo 2

Primeiro, a gente aplica a Transformada de Fourier na equação diferencial dada. A Transformada de Fourier transforma a função em função de , que representa a frequência. Aplicando isso, a derivada segunda em se transforma em vezes a função transformada. Assim, a equação fica:
Aqui, é a Transformada de Fourier de .

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária em relação ao tempo . A equação é:
Essa é uma equação de movimento harmônico simples, cuja solução geral é:

Passo 4

Precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais. Aplicando a Transformada de Fourier nas condições iniciais:
  1. transforma-se em .
  2. transforma-se em .
Substituindo na solução geral:
E para a derivada:
Então, .

Passo 5

Com e , a solução na frequência fica:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Fourier para voltar para o domínio do espaço:
Usando a propriedade da Transformada de Fourier que relaciona a função original com suas dianas propagadas, chegamos à solução geral da equação de onda.

Resposta

A solução da equação é dada por:

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Seja a transformada de Fourier da função . Mostre que
Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
Seja a equação
onde e são constantes positivas. Se a temperatura inicial é , calcule para .
Seja a transformada inversa de Fourier da função . Mostre que