Seja a transformada de Fourier da função . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar uma propriedade da Transformada de Fourier. Basicamente, se a gente tem uma função e multiplica o por um fator , como isso afeta a transformada de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Transformada de Fourier funciona e como ela reage a mudanças na escala da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier é:
Aqui, é a transformada de Fourier de , e representa a frequência.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de Fourier de , onde é um número real. Vamos chamar essa nova função de . Então, a transformada de Fourier de será:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , o que significa que ou . Substituindo na integral, temos:
Note que mudamos o limite de integração de para , mas como estamos integrando de a , os limites permanecem os mesmos.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão:
Perceba que está dentro do expoente. Essa integral é exatamente a Transformada de Fourier de avaliada em , ou seja:

Passo 6

Porém, devemos considerar o valor absoluto de para garantir que a transformada seja bem definida, especialmente se for negativo. Então, ajustamos a expressão final para:

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
Encontre a transformada de Fourier das funções:
Resolva o problema abaixo, utilizando transformada de Fourier:
Seja a equação
onde e são constantes positivas. Se a temperatura inicial é , calcule para .