Seja a transformada de Fourier da função . Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar uma propriedade da Transformada de Fourier. Basicamente, se a gente tem uma função e multiplica o por um fator , como isso afeta a transformada de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Transformada de Fourier funciona e como ela reage a mudanças na escala da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier é:
Aqui, é a transformada de Fourier de , e representa a frequência.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de Fourier de , onde é um número real. Vamos chamar essa nova função de . Então, a transformada de Fourier de será:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , o que significa que ou . Substituindo na integral, temos:
Note que mudamos o limite de integração de para , mas como estamos integrando de a , os limites permanecem os mesmos.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a expressão:
Perceba que está dentro do expoente. Essa integral é exatamente a Transformada de Fourier de avaliada em , ou seja:
Passo 6
Porém, devemos considerar o valor absoluto de para garantir que a transformada seja bem definida, especialmente se for negativo. Então, ajustamos a expressão final para: