Seja
a transformada de Fourier da função
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar uma propriedade da Transformada de Fourier. Basicamente, se a gente tem uma função
e multiplica o
por um fator
, como isso afeta a transformada de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Transformada de Fourier funciona e como ela reage a mudanças na escala da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier é:
Aqui,
é a transformada de Fourier de
, e
representa a frequência.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de Fourier de
, onde
é um número real. Vamos chamar essa nova função de
. Então, a transformada de Fourier de
será:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
, o que significa que
ou
. Substituindo na integral, temos:
Note que mudamos o limite de integração de
para
, mas como estamos integrando de
a
, os limites permanecem os mesmos.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a expressão:
Perceba que
está dentro do expoente. Essa integral é exatamente a Transformada de Fourier de
avaliada em
, ou seja:
Passo 6
Porém, devemos considerar o valor absoluto de
para garantir que a transformada seja bem definida, especialmente se
for negativo. Então, ajustamos a expressão final para: