Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a função curvatura da curva definida por
Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço tridimensional e ao conceito de curvatura, que nos diz o quanto uma curva está “curvada” em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a curvatura
de uma curva no espaço. A fórmula é:
Aqui,
é a primeira derivada da curva (a velocidade),
é a segunda derivada (a aceleração), e o símbolo
representa o produto vetorial entre vetores.
Passo 3
Vamos calcular
, a primeira derivada de
:
Aqui, derivamos cada componente de
em relação a
.
Passo 4
Agora, calculamos
, a segunda derivada de
:
Derivamos novamente cada componente de
em relação a
.
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto vetorial
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, encontramos a norma desse produto vetorial:
Fatorando
:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 8
Agora, calculamos a norma de
:
Como , temos:
Passo 9
Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
Simplificando:
Resposta
A função curvatura da curva dada é
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