Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
alpha(t) = (t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)), t > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a função curvatura da curva definida por
Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço tridimensional e ao conceito de curvatura, que nos diz o quanto uma curva está “curvada” em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a curvatura de uma curva no espaço. A fórmula é:
Aqui, é a primeira derivada da curva (a velocidade), é a segunda derivada (a aceleração), e o símbolo representa o produto vetorial entre vetores.

Passo 3

Vamos calcular , a primeira derivada de :
Aqui, derivamos cada componente de em relação a .

Passo 4

Agora, calculamos , a segunda derivada de :
Derivamos novamente cada componente de em relação a .

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 6

Agora, encontramos a norma desse produto vetorial:
Fatorando :

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 8

Agora, calculamos a norma de :
Como , temos:

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
Simplificando:

Resposta

A função curvatura da curva dada é

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