Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cujo deslocamento no tempo é dado por , especificamente quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, já que velocidade e aceleração são derivadas da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo. A posição é dada por . Vamos derivar cada componente separadamente.
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade no momento . Substituindo na expressão da velocidade:
Então, a velocidade da partícula em é .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Já temos a expressão da velocidade:
Vamos derivar cada componente:
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então, a aceleração é:

Passo 5

Calculando a aceleração no momento :
Portanto, a aceleração da partícula em é .

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade. Temos a velocidade em :
A magnitude (ou velocidade escalar) é dada por:

Resposta

  • Velocidade em :
  • Aceleração em :
  • Velocidade escalar em :

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