Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo t é alpha(t).
alpha(t) = (t^2, ln(t), t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, e vamos precisar usar derivadas para encontrar essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade v(t), vamos derivar cada componente de alpha(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de alpha(t):
  • A derivada de t^2 em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de t em relação a t é 1.
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v(t).

Passo 5

Derivando cada componente de v(t):
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de 1 em relação a t é 0.
Assim, a aceleração é:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente o módulo (ou comprimento) do vetor velocidade v(t). Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde , e são as componentes da velocidade.

Passo 7

Aplicando os valores da nossa velocidade:
Podemos deixar a resposta assim ou simplificar mais, mas essa forma já expressa bem a velocidade escalar.

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é e a velocidade escalar é .

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