Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, e vamos precisar usar derivadas para encontrar essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade
, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
.
Passo 5
Derivando cada componente de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim, a aceleração é:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente o módulo (ou comprimento) do vetor velocidade
. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde
,
e
são as componentes da velocidade.
Passo 7
Aplicando os valores da nossa velocidade:
Podemos deixar a resposta assim ou simplificar mais, mas essa forma já expressa bem a velocidade escalar.
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
e a velocidade escalar é
.
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Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
.
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
em
Nos itens abaixo, determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade inicial e posição inicial.
.
Mostre que a integral de linha
independe da parametrização escolhida, isto é, se
é uma parametrização de
bijetiva e de classe
e
é definida por
é reparametrização de
, então
Vale o mesmo para
.