Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada, que envolve um limite. Além disso, vamos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, tipo derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de
em um ponto mostra a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. A definição de derivada é dada por:
Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea da função.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à função
. Primeiro, precisamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 5
Em seguida, dividimos essa diferença por
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a zero:
Então, a derivada da função
é
.
Passo 7
Por último, vamos identificar os domínios:
-
Domínio da função
: Como é uma função polinomial de primeiro grau, seu domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . -
Domínio da derivada
: A derivada também é uma constante, então seu domínio é igualmente todo o conjunto dos números reais, .
Resposta
A derivada da função é
. Tanto o domínio da função
quanto o domínio da derivada
são todos os números reais,
.
Exercícios relacionados
Se uma equação de uma reta tangente à curva
no ponto
é
, encontre
e
.
Se
, encontre
e use-o para encontrar uma equação para a reta tangente à curva no ponto
.
Derive:
Derive: