Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada, que envolve um limite. Além disso, vamos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, tipo derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de em um ponto mostra a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. A definição de derivada é dada por:
Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea da função.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à função . Primeiro, precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença :

Passo 5

Em seguida, dividimos essa diferença por :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a zero:
Então, a derivada da função é .

Passo 7

Por último, vamos identificar os domínios:
  • Domínio da função : Como é uma função polinomial de primeiro grau, seu domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .
  • Domínio da derivada : A derivada também é uma constante, então seu domínio é igualmente todo o conjunto dos números reais, .

Resposta

A derivada da função é . Tanto o domínio da função quanto o domínio da derivada são todos os números reais, .

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Se uma equação de uma reta tangente à curva no ponto é , encontre e .
Se , encontre e use-o para encontrar uma equação para a reta tangente à curva no ponto .
Derive:
Derive: