Se f(x) = x^2 + 3, encontre f'(1) e use-o para encontrar uma equação para a reta tangente à curva no ponto 1,4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela no ponto onde . Após isso, vamos usar essa derivada para achar a equação da reta tangente à curva no ponto .
Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como calcular a reta tangente usando a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto específico.
Sabemos que a derivada de é . Aplicando isso:
Então, a derivada de é .

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular , que é a inclinação da reta tangente no ponto onde .
Substituindo na derivada:
Portanto, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma padrão :
Adicionando 4 em ambos os lados:

Resposta

A derivada no ponto é e a equação da reta tangente à curva no ponto é .

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