Se uma equação de uma reta tangente à curva no ponto é , encontre e .

Passo 1

Então, a gente tem uma reta que toca a curva exatamente no ponto onde . A equação dessa reta é . Para resolver essa questão, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Imagine que a reta tangente é como se fosse um pedacinho da reta que “aperta” a curva naquele ponto específico. Ela tem a mesma inclinação que a curva no ponto de tangência. Matematicamente, a equação da reta tangente em pode ser escrita como:
Aqui, representa a derivada de em , ou seja, a inclinação da reta tangente naquele ponto, e é o valor da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos comparar a equação da reta tangente que a gente tem com a forma geral. A equação dada é . Se a gente colocar essa equação na forma da reta tangente, fica assim:
Comparando com , podemos ver que o coeficiente de é a inclinação da reta tangente. Então:
Isso significa que a derivada de em é 4.

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos usar a equação da reta tangente e substituir :
Portanto:

Resposta

e .

Exercícios relacionados

Se , encontre e use-o para encontrar uma equação para a reta tangente à curva no ponto .
Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto onde .
Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Derive: