Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
b.
é sempre convergente.
b.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos fala que a série
diverge e que cada termo
é maior que zero. Nosso objetivo aqui é analisar se a série
sempre converge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, convergência e testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a série
diverge, ou seja, ela não soma para um valor finito. Agora, queremos ver o que acontece com a série modificada
.
Passo 3
Vamos analisar o termo geral da nova série:
. Podemos simplificar esse termo dividindo numerador e denominador por
(supondo
, o que é garantido já que
):
Isso nos dá uma ideia de como o termo se comporta conforme
cresce.
Passo 4
Para determinar a convergência da série, podemos usar o teste da comparação. Vamos comparar com a série harmônica
, que sabemos que diverge.
Observando:
Isso porque
, então
, e consequentemente
não necessariamente se mantém verdadeiro para todos os
.
Passo 5
Na verdade, para mostrar se a série
converge ou não, vamos considerar um exemplo específico onde sabemos que
diverge.
Passo 6
Vamos tomar
. Então, a série original é
, que é a famosa série harmônica e sabemos que ela diverge.
Agora, substituindo na nova série:
Então, a nova série fica:
Sabemos que a série harmônica
diverge, então multiplicando por
, ainda teremos uma série divergente.
Resposta
Falsa. Por exemplo, se
, a série
é a série harmônica, que diverge, e a série
se torna
, que também diverge. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.