Suponha que a série sumn=1^+infty an diverge e que an>0, forall n in N. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
b. sumn=1^+infty ann an+1 é sempre convergente.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos fala que a série sumn=1^+infty an diverge e que cada termo an é maior que zero. Nosso objetivo aqui é analisar se a série sumn=1^+infty ann an+1 sempre converge. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, convergência e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a série sumn=1^+infty an diverge, ou seja, ela não soma para um valor finito. Agora, queremos ver o que acontece com a série modificada sumn=1^+infty ann an+1.

Passo 3

Vamos analisar o termo geral da nova série: ann an+1. Podemos simplificar esse termo dividindo numerador e denominador por an (supondo an neq 0, o que é garantido já que an > 0):
ann an + 1 = 1n + 1an
Isso nos dá uma ideia de como o termo se comporta conforme n cresce.

Passo 4

Para determinar a convergência da série, podemos usar o teste da comparação. Vamos comparar com a série harmônica sumn=1^+infty 1n, que sabemos que diverge.
Observando:
1n + 1an >= 1n + 0 = 1n
Isso porque 1an > 0, então n + 1an > n, e consequentemente 1n + 1an < 1n não necessariamente se mantém verdadeiro para todos os n.

Passo 5

Na verdade, para mostrar se a série sumn=1^+infty ann an+1 converge ou não, vamos considerar um exemplo específico onde sabemos que sumn=1^+infty an diverge.

Passo 6

Vamos tomar an = 1n. Então, a série original é sumn=1^+infty 1n, que é a famosa série harmônica e sabemos que ela diverge.
Agora, substituindo na nova série:
ann an + 1 = 1nn cdot 1n + 1 = 1n1 + 1 = 12n
Então, a nova série fica:
sumn=1^+infty 12n = 12 sumn=1^+infty 1n
Sabemos que a série harmônica sum 1n diverge, então multiplicando por 12, ainda teremos uma série divergente.

Resposta

Falsa. Por exemplo, se an = 1n, a série sumn=1^+infty an é a série harmônica, que diverge, e a série sumn=1^+infty ann an+1 se torna sumn=1^+infty 12n, que também diverge. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.

Exercícios relacionados