Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou! Estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a função
que resolve essa equação e atende à condição
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Nosso caso fica assim:
Então, identificamos que:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. Esse é um termo que usamos para simplificar a equação e facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
:
Isso acontece porque multiplicamos pela
escolhida exatamente para que isso ocorra.
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver para
dividindo ambos os lados por
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Encontre uma função
, de modo que
, seja solução da equação