Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
y' - sec(x) = y tg(x), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você enviou! Estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que temos:
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que resolve essa equação e atende à condição .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Nosso caso fica assim:
Então, identificamos que:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. Esse é um termo que usamos para simplificar a equação e facilitar a resolução. O fator integrante mu(x) é dado por:
Substituindo P(x):
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Isso acontece porque multiplicamos pela mu(x) escolhida exatamente para que isso ocorra.

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver para y dividindo ambos os lados por cos(x):
Agora, usamos a condição inicial para encontrar C:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados