Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial que é uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação diferencial. Ela está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Esse fator é dado por:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Faça uma substituição onde
, então
:
Então, substituindo de volta:
Isolando
:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução final é:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.
Encontre uma função
, de modo que
, seja solução da equação
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.