Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ). Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso facilita porque o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o domínio de existência de f(x) = (x + 3) / (4 - raiz(x^2 - 25)).
Encontre a função f (inclusive o seu domínio) que satisfaça a propriedade (f(x)-3)/(f(x)+3)=x.
Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
g(x) = { 1 - x, 0 <= x <= 1; 2 - x, 1 < x <= 2 }
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / (y + x)