Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
). Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso facilita porque o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva os exercícios a seguir.
Encontre o domínio de existência de .
Encontre o domínio de existência de
Encontre a função
(inclusive o seu domínio) que satisfaça a propriedade
.
Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial: