Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e, quando for o caso, encontre a solução do problema de valor inicial:
y' = (y - x) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ). Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso facilita porque o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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