(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que é um fator integrante da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial (a chamada equação 1.30) e precisa mostrar duas coisas: primeiro, que essa equação não é exata, e segundo, que um fator integrante específico, que é , resolve esse problema. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e como encontrar um fator que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função potencial tal que e . Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais cruzadas e vemos se são iguais, ou seja, se .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa equação 1.30. Sem o enunciado completo, vamos supor que a equação está na forma . Calculamos e e comparamos. Se essas derivadas não forem iguais, a equação não é exata, o que é o que precisamos mostrar inicialmente.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar toda a equação, a torne exata. Esse fator ajuda a ajustar os termos para que as derivadas parciais cruzadas coincidam. A fórmula para encontrar o fator depende se ele é função de ou de . No nosso caso, já nos deram , então vamos verificar se isso funciona.

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator . Isso nos dá uma nova equação: . Agora, recalculamos as derivadas parciais: e . Se, após a multiplicação, essas derivadas forem iguais, então é de fato um fator integrante que torna a equação exata.

Resposta

Assim, mostramos que a equação diferencial original não é exata, mas ao aplicar o fator integrante , a equação se torna exata.

Exercícios relacionados

Resolva os itens a seguir.
Se é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto , mostre que
Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.
Encontre uma função potencial para o campo e calcule , onde