(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial (a chamada equação 1.30) e precisa mostrar duas coisas: primeiro, que essa equação não é exata, e segundo, que um fator integrante específico, que é
, resolve esse problema. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e como encontrar um fator que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função potencial
tal que
e
. Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais cruzadas e vemos se são iguais, ou seja, se
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa equação 1.30. Sem o enunciado completo, vamos supor que a equação está na forma
. Calculamos
e
e comparamos. Se essas derivadas não forem iguais, a equação não é exata, o que é o que precisamos mostrar inicialmente.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, ao multiplicar toda a equação, a torne exata. Esse fator ajuda a ajustar os termos para que as derivadas parciais cruzadas coincidam. A fórmula para encontrar o fator depende se ele é função de
ou de
. No nosso caso, já nos deram
, então vamos verificar se isso funciona.
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator
. Isso nos dá uma nova equação:
. Agora, recalculamos as derivadas parciais:
e
. Se, após a multiplicação, essas derivadas forem iguais, então
é de fato um fator integrante que torna a equação exata.
Resposta
Assim, mostramos que a equação diferencial original não é exata, mas ao aplicar o fator integrante
, a equação se torna exata.
Exercícios relacionados
Resolva os itens a seguir.
Se é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
Se
Mostre que toda equação diferencial separável
é também exata.
Encontre uma função potencial para o campo
e calcule
, onde