Encontre a função
que descreve a temperatura no estado estacionário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a função
que descreve a temperatura no estado estacionário. Isso está relacionado ao estudo de Diferenças Finitas e Equações Diferenciais na matéria de Física ou Matemática Aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de temperatura em um sistema no estado estacionário, ou seja, quando a temperatura não muda mais com o tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber o que significa “estado estacionário”. No contexto térmico, isso quer dizer que a temperatura em cada ponto do sistema permanece constante ao longo do tempo. Matematicamente, isso implica que a derivada da temperatura em relação ao tempo é zero.
Passo 3
Agora, a equação que descreve a condução de calor em uma dimensão no estado estacionário é a Equação de Laplace para temperatura, que é dada por:
Essa equação nos diz que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero.
Passo 4
Para encontrar
, vamos resolver essa equação diferencial. Começamos integrando a equação em relação a
:
Aqui,
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
As constantes
e
são determinadas pelas condições de contorno do problema, ou seja, pelas temperaturas ou fluxos de calor conhecidos nas bordas do sistema. Como a questão não fornece essas condições, a solução geral da função temperatura no estado estacionário é:
Resposta
A função que descreve a temperatura no estado estacionário é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno específicas do problema.