Encontre a função v(x) que descreve a temperatura no estado estacionário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a função que descreve a temperatura no estado estacionário. Isso está relacionado ao estudo de Diferenças Finitas e Equações Diferenciais na matéria de Física ou Matemática Aplicada. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de temperatura em um sistema no estado estacionário, ou seja, quando a temperatura não muda mais com o tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que significa “estado estacionário”. No contexto térmico, isso quer dizer que a temperatura em cada ponto do sistema permanece constante ao longo do tempo. Matematicamente, isso implica que a derivada da temperatura em relação ao tempo é zero.

Passo 3

Agora, a equação que descreve a condução de calor em uma dimensão no estado estacionário é a Equação de Laplace para temperatura, que é dada por:
Essa equação nos diz que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero.

Passo 4

Para encontrar , vamos resolver essa equação diferencial. Começamos integrando a equação em relação a :
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, integramos novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

As constantes e são determinadas pelas condições de contorno do problema, ou seja, pelas temperaturas ou fluxos de calor conhecidos nas bordas do sistema. Como a questão não fornece essas condições, a solução geral da função temperatura no estado estacionário é:

Resposta

A função que descreve a temperatura no estado estacionário é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições de contorno específicas do problema.

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