Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
lim x 3^+ x+1x^4-6 x^3+10 x^2-6 x+9

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 3 pela direita (ou seja, valores um pouco maiores que 3).

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 3+13^4-6 cdot 3^3+10 cdot 3^2-6 cdot 3+9 = 481 - 162 + 90 - 18 + 9 = 40 diretamente na expressão para ver se conseguimos simplificar:
Obtemos , o que sugere que o denominador está se aproximando de zero enquanto o numerador se aproxima de 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do denominador 3^4 - 6 cdot 3^3 + 10 cdot 3^2 - 6 cdot 3 + 9 = 81 - 162 + 90 - 18 + 9 = 0 . Podemos tentar fatorar esse polinômio para entender melhor o que está acontecendo perto de x^4-6 x^3+10 x^2-6 x+9 = (x - 3)(x^3-3x^2+x-3) .
Vamos verificar se 3^3 - 3 cdot 3^2 + 3 - 3 = 27 - 27 + 0 = 0 é uma raiz do denominador:
x^3-3x^2+x-3 = (x - 3)(x^2+0x+1)
Então, x^4-6 x^3+10 x^2-6 x+9 = (x - 3)^2(x^2+1) é um fator do denominador. Vamos realizar a divisão polinomial para fatorar o denominador:
Vamos verificar se também é uma raiz de :
Portanto, é novamente um fator. Continuamos a fatoração:
Então, o denominador totalmente fatorado é:

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão original com o denominador fatorado:
x+1(x - 3)^2(x^2+1)
Queremos encontrar o limite quando se aproxima de 3 pela direita. Sabemos que sempre será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Além disso, também é sempre positivo.
Quando se aproxima de 3 por valores maiores que 3 ( ), se aproxima de zero, fazendo com que o denominador inteiro se aproxime de zero. Como o numerador se aproxima de 4, a fração inteira tende a crescer sem limites positivos.

Resposta

lim x 3^+ x+1x^4-6 x^3+10 x^2-6 x+9 = +infty

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