Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 3 pela direita (ou seja, valores um pouco maiores que 3).
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos simplificar:
Obtemos
, o que sugere que o denominador está se aproximando de zero enquanto o numerador se aproxima de 4.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento do denominador
. Podemos tentar fatorar esse polinômio para entender melhor o que está acontecendo perto de
.
Vamos verificar se
é uma raiz do denominador:
Então,
é um fator do denominador. Vamos realizar a divisão polinomial para fatorar o denominador:
Vamos verificar se
também é uma raiz de
:
Portanto,
é novamente um fator. Continuamos a fatoração:
Então, o denominador totalmente fatorado é:
Passo 4
Agora, reescrevemos a expressão original com o denominador fatorado:
Queremos encontrar o limite quando
se aproxima de 3 pela direita. Sabemos que
sempre será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Além disso,
também é sempre positivo.
Quando
se aproxima de 3 por valores maiores que 3 (
),
se aproxima de zero, fazendo com que o denominador inteiro se aproxime de zero. Como o numerador se aproxima de 4, a fração inteira tende a crescer sem limites positivos.