Utilize os limites fundamentais para calcular: lim x 0 3^2 x-3^5 xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de limites e exponenciais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com funções exponenciais e aplicar os limites fundamentais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão do tipo , onde , e . Sabemos que pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos: . Vamos aplicar isso para simplificar a expressão.

Passo 3

Reescrevendo os termos exponenciais:
3^2x = e^2x ln 3 e 3^5x = e^5x ln 3
Assim, a expressão do limite fica:
limx to 0 e^2x ln 3 - e^5x ln 3x

Passo 4

Vamos usar a expansão de primeiro grau do exponencial para pequenos valores de e^kx approx 1 + kx quando x to 0 :
e^2x ln 3 approx 1 + 2x ln 3
Aplicando isso aos termos e^5x ln 3 approx 1 + 5x ln 3 e :

Passo 5

Substituindo as aproximações na expressão do limite:
limx to 0 (1 + 2x ln 3) - (1 + 5x ln 3)x = limx to 0 2x ln 3 - 5x ln 3x
Simplificando o numerador:
2x ln 3 - 5x ln 3 = -3x ln 3
Agora, a expressão fica:
limx to 0 -3x ln 3x

Passo 6

Cancelando o limx to 0 -3 ln 3 = -3 ln 3 no numerador e denominador:

Resposta

O limite é .

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