Encontre a função de várias variáveis que nos dê: O volume de um cone em função da medida g de sua geratriz e de sua altura h.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar uma função que calcula o volume de um cone usando duas medidas: a geratriz ( g) e a altura ( h) do cone. Isso envolve entender um pouco de geometria do cone e como essas medidas se relacionam para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica do volume de um cone. O volume ( V) de um cone é dado por:
Aqui, r é o raio da base do cone e h é a altura.

Passo 3

Agora, a questão nos dá a geratriz ( g) em vez do raio ( r). Precisamos relacionar a geratriz com o raio e a altura. Em um cone reto, a geratriz, o raio e a altura formam um triângulo retângulo. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas medidas:
Dessa equação, podemos isolar o raio:

Passo 4

Agora que temos o raio em termos de g e h, vamos substituir essa expressão na fórmula do volume do cone:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. O quadrado da raiz quadrada cancela, então temos:

Resposta

A função que dá o volume do cone em função da geratriz g e da altura h é:

Exercícios relacionados