Encontre a função de várias variáveis que nos dê: O volume de um cone em função da medida
de sua geratriz e de sua altura
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar uma função que calcula o volume de um cone usando duas medidas: a geratriz (
) e a altura (
) do cone. Isso envolve entender um pouco de geometria do cone e como essas medidas se relacionam para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica do volume de um cone. O volume (
) de um cone é dado por:
Aqui,
é o raio da base do cone e
é a altura.
Passo 3
Agora, a questão nos dá a geratriz (
) em vez do raio (
). Precisamos relacionar a geratriz com o raio e a altura. Em um cone reto, a geratriz, o raio e a altura formam um triângulo retângulo. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas medidas:
Dessa equação, podemos isolar o raio:
Passo 4
Agora que temos o raio em termos de
e
, vamos substituir essa expressão na fórmula do volume do cone:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. O quadrado da raiz quadrada cancela, então temos:
Resposta
A função que dá o volume do cone em função da geratriz
e da altura
é:
Exercícios relacionados
Mostre que a função
satisfaz a equação da onda:
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
2.
2.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
4.
4.