Encontre a função de várias variáveis que nos dê: O volume de um cone em função da medida de sua geratriz e de sua altura .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar uma função que calcula o volume de um cone usando duas medidas: a geratriz ( ) e a altura ( ) do cone. Isso envolve entender um pouco de geometria do cone e como essas medidas se relacionam para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica do volume de um cone. O volume ( ) de um cone é dado por:
Aqui, é o raio da base do cone e é a altura.

Passo 3

Agora, a questão nos dá a geratriz ( ) em vez do raio ( ). Precisamos relacionar a geratriz com o raio e a altura. Em um cone reto, a geratriz, o raio e a altura formam um triângulo retângulo. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas medidas:
Dessa equação, podemos isolar o raio:

Passo 4

Agora que temos o raio em termos de e , vamos substituir essa expressão na fórmula do volume do cone:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. O quadrado da raiz quadrada cancela, então temos:

Resposta

A função que dá o volume do cone em função da geratriz e da altura é:

Exercícios relacionados

Mostre que a função satisfaz a equação da onda:
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente em uma placa circular de raio considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
2.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente em uma placa circular de raio considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
4.