Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o limite da função
quando
chega a
. Além disso, temos que discutir se essa função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para simplificar a expressão e entender o comportamento da função perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador
. Sabemos que a diferença de cubos pode ser fatorada da seguinte maneira:
Isso é super útil porque temos um
no numerador e também no denominador da nossa função original.
Passo 3
Agora, substituímos a fatoração na função original:
Vemos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos:
Isso simplifica bastante a nossa expressão!
Passo 4
Com a função simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo diretamente os valores de
,
e
por 1:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto. No nosso caso, depois de simplificar, vimos que a função pode ser definida como
quando
. Portanto, a função é contínua nesse ponto porque não há “saltos” ou “buracos” na gráfica da função ali.
Resposta
O limite é igual a
e a função é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre a função de várias variáveis que nos dê: O volume de um cone em função da medida
de sua geratriz e de sua altura
.
Mostre que a função
satisfaz a equação da onda:
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
4.
4.
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.