Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções: lim (x, y, z) (1,1,1) (x^3-z^3)(y+1)x-z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o limite da função quando chega a . Além disso, temos que discutir se essa função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para simplificar a expressão e entender o comportamento da função perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador x^3 - z^3 = (x - z)(x^2 + xz + z^2) . Sabemos que a diferença de cubos pode ser fatorada da seguinte maneira:
Isso é super útil porque temos um no numerador e também no denominador da nossa função original.

Passo 3

Agora, substituímos a fatoração na função original:
(x^3-z^3)(y+1)x-z = (x - z)(x^2 + xz + z^2)(y + 1)x - z
Vemos que = (x^2 + xz + z^2)(y + 1) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos:
Isso simplifica bastante a nossa expressão!

Passo 4

Com a função simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo diretamente os valores de (x^2 + xz + z^2)(y + 1) = (1^2 + 1 cdot 1 + 1^2)(1 + 1) = (1 + 1 + 1)(2) = 3 times 2 = 6 , e por 1:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto. No nosso caso, depois de simplificar, vimos que a função pode ser definida como quando . Portanto, a função é contínua nesse ponto porque não há “saltos” ou “buracos” na gráfica da função ali.

Resposta

O limite é igual a e a função é contínua no ponto .

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