Encontre a função velocidade e função horário para um veículo aquático que está sujeito a uma força , em que , em . Expandir a função velocidade e função horária em série de Taylor até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função velocidade e a função posição de um veículo aquático que está sujeito a uma força . A condição inicial é que a velocidade no tempo é . Além disso, precisamos expandir essas funções em série de Taylor até o terceiro termo. Para isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e matemática para resolver equações diferenciais e desenvolver séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração :
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a segunda lei de Newton como:

Passo 3

Dado que a força é , substituímos na equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá a equação diferencial:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Substituindo de volta na equação:
Invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 6

Agora que temos , vamos expandi-la em uma série de Taylor até o terceiro termo em torno de . A série de Taylor de é:
Então, até o terceiro termo:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função posição . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Assumindo que em , a posição , temos:
Integrando termo a termo:

Resposta

As funções velocidade e posição, expandas em série de Taylor até o terceiro termo, são:

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