Encontre a função velocidade e função horário para um veículo aquático que está sujeito a uma força F(v)=-b m v^2, em que v=v0, em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de Taylor até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função velocidade e a função posição de um veículo aquático que está sujeito a uma força . A condição inicial é que a velocidade no tempo é . Além disso, precisamos expandir essas funções em série de Taylor até o terceiro termo. Para isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e matemática para resolver equações diferenciais e desenvolver séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F = m cdot a sobre um objeto é igual à massa a = dvdt vezes a aceleração F = m cdot dvdt :
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a segunda lei de Newton como:

Passo 3

Dado que a força é -b m v^2 = m cdot dvdt , substituímos na equação:
-b v^2 = dvdt
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por dvdt = -b v^2 :
Isso nos dá a equação diferencial:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar dvv^2 = -b , dt . Vamos separar as variáveis integral dvv^2 = -b integral dt e -1v = -b t + C :
Integrando ambos os lados:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para 1v = b t + C' . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 1v0 = b cdot 0 + C' Rightarrow C' = 1v0 :
1v = b t + 1v0
Agora, aplicamos a condição inicial v(t) = 1b t + 1v0 = v01 + b v0 t :
Substituindo de volta na equação:
Invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 6

Agora que temos v(t) = v0 (1 - b v0 t + (b v0 t)^2 - dots) , vamos expandi-la em uma série de Taylor até o terceiro termo em torno de v(t) approx v0 - b v0^2 t + b^2 v0^3 t^2 . A série de Taylor de é:
Então, até o terceiro termo:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função posição x(t) = integral v(t) , dt + x0 . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral ( v0 - b v0^2 t + b^2 v0^3 t^2 ) dt
Assumindo que em x(t) = v0 t - 12 b v0^2 t^2 + 13 b^2 v0^3 t^3 , a posição , temos:
Integrando termo a termo:

Resposta

As funções velocidade e posição, expandas em série de Taylor até o terceiro termo, são:
v(t) approx v0 - b v0^2 t + b^2 v0^3 t^2
x(t) approx v0 t - 12 b v0^2 t^2 + 13 b^2 v0^3 t^3

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