Encontre a função velocidade e função horário para um veículo aquático que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de Taylor até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função velocidade
e a função posição
de um veículo aquático que está sujeito a uma força
. A condição inicial é que a velocidade no tempo
é
. Além disso, precisamos expandir essas funções em série de Taylor até o terceiro termo. Para isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e matemática para resolver equações diferenciais e desenvolver séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
sobre um objeto é igual à massa
vezes a aceleração
:
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos reescrever a segunda lei de Newton como:
Passo 3
Dado que a força é
, substituímos na equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá a equação diferencial:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Substituindo
de volta na equação:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos expandi-la em uma série de Taylor até o terceiro termo em torno de
. A série de Taylor de
é:
Então, até o terceiro termo:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função posição
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Assumindo que em
, a posição
, temos:
Integrando termo a termo:
Resposta
As funções velocidade e posição, expandas em série de Taylor até o terceiro termo, são: