Encontre um funcional linear de f: R^2 R tal que f(-1,1)=3 e f(1,2)=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um funcional linear que satisfaça e . Basicamente, vamos trabalhar com funcionais lineares, que são funções que transformam vetores em números reais de forma linear. Para resolver isso, vamos precisar descobrir os coeficientes que definem esse funcional linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um funcional linear em f(x, y) = a x + b y . Qualquer funcional linear pode ser escrito como:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no problema para montar um sistema de equações. Sabemos que:
f(-1, 1) = 3 e f(1, 2) = -2
Substituindo na forma geral do funcional, temos:
-1 cdot a + 1 cdot b = 3 Rightarrow -a + b = 3 (Equação 1) çã
1 cdot a + 2 cdot b = -2 Rightarrow a + 2b = -2 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar (-a + b) + (a + 2b) = 3 + (-2) (-a + a) + (b + 2b) = 1 0 + 3b = 1 3b = 1 b = 13 e -a + 13 = 3 -a = 3 - 13 -a = 93 - 13 -a = 83 a = -83 . Podemos resolver pela substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação aqui.
Primeiro, somamos as Equações 1 e 2:
Agora que temos o valor de , substituímos na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Portanto, o funcional linear que satisfaz as condições dadas é:
f(x, y) = -83x + 13y

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